Математическая модель случайной погрешности. Числовые характеристики погрешности.

Выше отмечалось, что измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Напомним, что наиболее общей характеристикой непрерывной случайной величины X является плотность распределения ее вероятностей.

Плотность распределения вероятностей:

,

где  – вероятность значений случайной величины x в интервале dx.

Наряду с плотностью распределения вероятностей используется функция распределения вероятностей случайной величины:

,

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от – ∞ до некоторого значения, меньшего x₁.

Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что , а . Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале между x₁ и х₂, равна:

,                         (2)

В практике электрорадиоизмерений чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределениями.

Случайная величина X распределена нормально, если ее плотность вероятностей имеет вид:

где σ – среднее квадратическое отклонение (СКО),  – математическое ожидание.

Математическое ожидание М[Х] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует ее среднее значение.

Величина  является случайной погрешностью. Если систематическая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

а)                                                                                      б)

Рис. 1

На рис. 1,а показана дифференциальная функция нормального распределения f(x). Видим, что с уменьшением σ уменьшается рассеяние результатов вокруг X. При расчетах используют нормированное нормальное распределение, использующее нормированную случайную величину :

.

Интеграл  выражает вероятность попадания случайной погрешности в интервал  и носит название функции Лапласа. Из таблицы значений функций Лапласа можно найти, что вероятность появления случайной погрешности в интервалах  с учетом симметричности распределения равна соответственно 0,683, 0,954, 0,997. Эти цифры характеризуют вероятность появления случайной погрешности в интервалах .

Нормальное распределение согласно центральной предельной теореме имеет сумма бесконечно большого числа бесконечно малых величин с любым законом распределения. На практике сумма сравнительно небольшого числа (4-5) статистически независимых величин одного порядка имеет распределение, близкое к нормальному. Если случайные погрешности определяются по результатам измерений, то погрешности в большинстве случаев имеют нормальное распределение.

Равномерное распределение, показанное на рис. 1,б, аналитически записывается в виде:

Вероятность появления погрешности в интервале  очевидно равна: .

Примером случайной погрешности, имеющей равномерное распределение, является погрешность отсчета по шкале прибора и погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах. Равномерное распределение в пределах допускаемых границ приписывают погрешности измерительного прибора. Равномерное распределение принимают всегда, когда закон распределения неизвестен.

В практике электрорадиоизмерений встречаются и другие законы распределения. ГОСТ 8.011 – 72 указывает функции распределения, которыми следует аппроксимировать реально имеющие место законы. Это нормальная, равномерная, треугольная, трапецевидная, антимодальные I и II, Рэлея. Отношения максимальной погрешности к СКО соответственно равны  и .

Встречаются случаи, когда задача оценивания погрешности приводит к функции распределения, существенно отличной от указанных выше, так что ее неудобно аппроксимировать ни одной из них. В практике электрорадиоизмерений таким законом является, например, закон арксинуса (U-образное распределение).

Для характеристики случайных величин применяют также начальные и центральные моменты. Основными среди них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание (первый начальный момент):

дисперсия (второй центральный момент):

Положительное значение корня квадратного из дисперсии и есть упоминавшееся выше среднее квадратическое отклонение

(СКО) случайной величины .

Математическое ожидание, как отмечалось, является центром, относительно которого группируются значения случайной величины. СКО характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания.

Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием М[Х] и СКО σ.

Равномерное распределение (рис. 1,б) тоже определяется двумя параметрами М[Х] и .

Дисперсия равномерного распределения:

а среднее квадратическое отклонение: .

Вероятность появления случайной погрешности в интервале ± σ в соответствии с (2) составляет