Определение кватернионов и их свойства
Необходимость расширения операций трехмерной векторной алгебры до операций умножения и деления привела Гамильтона (1843 г.) к введению алгебры для четырехмерных чисел, или кватернионов [4, 8]. Под кватернионом понимают число, составленное из действительной единицы 1 и трех мнимых единиц с действительными элементами следующего вида: , (1.25) где – орты системы координат (мнимые единицы в обозначении Гамильтона). В дальнейшем эти мнимые единицы для удобства изложения будем обозначать, следуя Ганкелю . Существуют разные формы обозначения кватернионов: с кружочком сверху, или готическими полужирными прописными буквами и т.п. В данной работе будем обозначать кватернионы полужирными прописными буквами латинского алфавита с "шапочкой " сверху и с ее выпуклостью к верху. Изложим основные постулаты, определяющие действия над кватернионами. 1. Два кватерниона и равны, если равны их элементы λi= μi (i=0,1,2,3). 2. Суммой кватернионов … и … называется кватернион, элементами которого являются величины λi+μi: 3. 4. При умножении кватерниона на скаляр а происходит умножение на это число всех его элементов:
Из этих определений следует, что сложение кватернионов и умножение их на скаляр подчиняется правилам обычной алгебры: Единицы 1, – можно рассматривать как единицы векторы (орты) четырехмерного пространства, которое обозначим Н. Тогда любой кватернион можно представить в этом пространстве так же, как и в обычном векторном пространстве. Особенность пространства Н состоит в том, что оно является замкнутым относительно операций умножения и деления. Чтобы определить правила произведения кватернионов, необходимо задать правила умножения единиц . Эти правила следующие: (1.27) Здесь знак есть символ кватернионного (векторного) умножения. При таком правиле умножения произведение двух кватернионов также является кватернионом. Правила умножения кватернионов удачны – благодаря им алгебра кватернионов содержит в себе алгебру действительных и комплексные числа, а также трехмерную векторную алгебру. Кватернионы содержат действительные числа (a,0,0,0) с единственной единицей 1, комплексные числа (a,b,0,0) с двумя единицами 1, и векторы (0,a,b,c) в пространстве трех измерений. Однако, если действительные и комплексные числа образуют поле (т.е. сложение, умножение и деление дают снова элемент рассматриваемого множества), то произведение двух векторов, как будет показано далее, уже является не вектором, а кватернионом. В соответствии с этим кватернион представим в виде суммы скалярной и векторной частей, которые обозначим sqalQ и vectQ соответственно (1.28) Умножение кватернионов обладает ассоциативными и дистрибутивными по отношению к сложению свойствами. (1.29) Пусть даны два кватерниона и и кватернион определяется как результат их умножения, т.е. (1.30) Где Тогда, учитывая выше сказанное, получим: (1.31) или (1.32) Кватернион, сопряженный данному кватерниону , является следующий кватернион, обозначаемый : . (1.33) Нормой кватерниона называется произведение (1.34) Из формулы умножения следует . Нормированный кватернион (в этом случае он называется: кватернион Родрига-Гамильтона) может быть представлен в виде: (1.36) где (1.37) Представление кватерниона в форме (1.46) позволяет получить наглядную геометрическую интерпретацию кватерниона. В связи с этим кватернион может быть однозначным образом представлен дугой большого круга arc(Q), плоскость которого определяется вектором , а длина – углом . Направление кватерниона задано направлением вектора ; т.е. дуга является скользящей (с произвольным началом отсчета). Заметим, что для нормированного кватерниона сопряженный и обратный кватернион совпадают.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1422)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |