Определение кватернионов и их свойства

Необходимость расширения операций трехмерной векторной алгебры до операций умножения и деления привела Гамильтона (1843 г.) к введению алгебры для четырехмерных чисел, или кватернионов [4, 8]. Под кватернионом понимают число, составленное из действительной единицы 1 и трех мнимых единиц с действительными элементами следующего вида:

, (1.25)

где – орты системы координат (мнимые единицы в обозначении Гамильтона). В дальнейшем эти мнимые единицы для удобства изложения будем обозначать, следуя Ганкелю .

Существуют разные формы обозначения кватернионов: с кружочком сверху, или готическими полужирными прописными буквами и т.п. В данной работе будем обозначать кватернионы полужирными прописными буквами латинского алфавита с "шапочкой " сверху и с ее выпуклостью к верху.

Изложим основные постулаты, определяющие действия над кватернионами.

1. Два кватерниона и равны, если равны их элементы λ_i= μ_i (i=0,1,2,3).

2. Суммой кватернионов … и … называется кватернион, элементами которого являются величины λ_i+μ_i:

3.

4. При умножении кватерниона на скаляр а происходит умножение на это число всех его элементов:

Из этих определений следует, что сложение кватернионов и умножение их на скаляр подчиняется правилам обычной алгебры:

(1.26)

Единицы 1, – можно рассматривать как единицы векторы (орты) четырехмерного пространства, которое обозначим Н.

Тогда любой кватернион можно представить в этом пространстве так же, как и в обычном векторном пространстве.

Особенность пространства Н состоит в том, что оно является замкнутым относительно операций умножения и деления.

Чтобы определить правила произведения кватернионов, необходимо задать правила умножения единиц . Эти правила следующие:

(1.27)

Здесь знак есть символ кватернионного (векторного) умножения.

При таком правиле умножения произведение двух кватернионов также является кватернионом.

Правила умножения кватернионов удачны – благодаря им алгебра кватернионов содержит в себе алгебру действительных и комплексные числа, а также трехмерную векторную алгебру.

Кватернионы содержат действительные числа (a,0,0,0) с единственной единицей 1, комплексные числа (a,b,0,0) с двумя единицами 1, и векторы (0,a,b,c) в пространстве трех измерений. Однако, если действительные и комплексные числа образуют поле (т.е. сложение, умножение и деление дают снова элемент рассматриваемого множества), то произведение двух векторов, как будет показано далее, уже является не вектором, а кватернионом.

В соответствии с этим кватернион представим в виде суммы скалярной и векторной частей, которые обозначим sqalQ и vectQ соответственно

(1.28)

Умножение кватернионов обладает ассоциативными и дистрибутивными по отношению к сложению свойствами.

(1.29)

Пусть даны два кватерниона и и кватернион определяется как результат их умножения, т.е.

(1.30)

Где

Тогда, учитывая выше сказанное, получим:

(1.31)

или

(1.32)

Кватернион, сопряженный данному кватерниону , является следующий кватернион, обозначаемый :

. (1.33)

Нормой кватерниона называется произведение

(1.34)

Из формулы умножения следует .
Когда норма кватерниона , то кватернион называется нормированным.

Нормированный кватернион (в этом случае он называется: кватернион Родрига-Гамильтона) может быть представлен в виде:

(1.36)

где

(1.37)

Представление кватерниона в форме (1.46) позволяет получить наглядную геометрическую интерпретацию кватерниона.

В связи с этим кватернион может быть однозначным образом представлен дугой большого круга arc(Q), плоскость которого определяется вектором , а длина – углом .

Направление кватерниона задано направлением вектора ; т.е. дуга является скользящей (с произвольным началом отсчета).

Заметим, что для нормированного кватерниона сопряженный и обратный кватернион совпадают.