Матрица конечного поворота

Рассмотрим задачу о нахождении направляющих косинусах, задающих ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно некоторой, назовем ее неподвижной, системой координат OXYZ. Исходную систему координат подвижного трехгранника обозначим Ox₀y₀z₀ и до поворота она соответственно совпадала с системой координат OXYZ. Пусть трехгранник Oxyz переместился из положения Ox₀y₀z₀ в текущее в результате одного поворота на угол около оси On, заданной единичным ортом в системе координат OXYZ. Ось On может занимать разное направление, не обязательно совпадающим с одной из осей трехгранника OXYZ. Представим используемые системы координат и их связи граф-схемой:

Рис.1.4.

Здесь

- матрица направляющих косинусов, задающая ориентацию трехгранника Ox_vy_vz_v, одна из осей которого (пусть первая ось Ox_v) задает ориентацию оси поворота On;

- матрица поворота относительно оси On .

Тогда искомая матрица конечного поворота определяется соотношением

.

Или раскрывая выражение и используя свойства (1.9) , получим матрицу конечного поворота в следующем виде

где

(1.11)

- направляющие косинусы, задающие ориентацию оси On поворота ПО на угол . Таким образом, положение подвижной системы координат задается с помощью четырех параметров: , .

Матричная форма формулы Эйлера

Пусть в системе координат СК_m задана точка M, которая определена вектором

;

где – проекции вектора на оси системы координат СК_m, что отмечено нижним индексом “m”.

Определим линейную скорость точки М в проекциях на оси системы координат СК_m. Согласно формуле Эйлера [1] имеем

. (1.12)

Здесь – вектор угловой скорости системы координат СК_m относительно системы координат СК_s, выраженный в проекциях этого вектора на оси системы координат СК_m.

Используя матричную форму векторного произведения, запишем

Запишем полученный результат в матричной форме

, (1.13)

где (1.14)

Индекс “~ ” (тильда) указывает на кососимметричную форму данной матрицы.

Формула Пуассона

В традиционной форме обозначения угловую скорость можно представить в виде

.

Заметим, что в формуле (1.13) неявно было положено условие

.

В общем случае, когда выведем рабочее соотношение другим способом.

Продифференцируем соотношение

т.е.

Т.о. вектор линейной скорости точки М в данном случае (в общем случае движения точки М), выраженный в проекциях на оси системы координат СК_m имеет вид

или в форме теоремы о полной производной

(1.15)

Заметим, что при этом имеет место очень важное соотношение

, (1.16)

которое позволяет определять проекции угловой скорости поворота одной системы координат относительно другой, используя только матрицы направляющих косинусов.

Формула (1.16), записанная в ниже следующей форме, часто называется формулой Пуассона[1, 2, 4]

(1.17)

Или в другой форме

(1.18)