Модель международной торговли (модель обмена)
Модель международной торговли (модель обмена) предназначена для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц. Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны. Рассмотрим ситуацию стран – участниц торговли с государственными бюджетами соответственно. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран. Введем в рассмотрение структурную матрицу торговли: , где часть госбюджета, которую j-я страна тратит на покупку товаров i-й страны. Сумма элементов матрицы S в каждом столбце должна быть равна единице. После подведения итогов за некоторый период страна получит выручку . Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны: (7.7) На самом деле все неравенства в (7.7) должны выполняться как точные равенства. Это следует из теоремы: Теорема об условиях бездефицитной торговли[1]. Условием бездефицитной торговли являются равенства (7.8) В матричной форме соотношение (7.8) выглядит следующим образом: , (7.9) что является частным случаем уравнения . (7.10) Отсюда следует, что вектор бюджетов является собственным вектором структурной матрицы торговли , а соответствующее собственное значение этой матрицы равно 1. Согласно (6.8) и (6.9), необходимым и достаточным условием существования решения уравнения (7.10) является условие существования решения уравнения . (7.11) Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (7.11), то получится многочлен степени n относительно называемый характеристическим уравнением матрицы . Отсюда вытекает, что собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического уравнения. Таким образом, для того чтобы найти вектор бюджетов , необходимо и достаточно отыскать собственный вектор структурной матрицы торговли , соответствующий единичному собственному значению этой матрицы. Пример 7.3. Пусть задана структурная матрица торговли трех стран есть . Это означает, в частности, что страна С1 тратит половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, ¼ бюджета – на товары из С2, оставшуюся часть бюджета – на товары из С3. Требуется найти вектор бюджетов стран, гарантирующий бездефицитную торговлю всех стран. Решение. Уравнение для отыскания собственного вектора матрицы согласно (7.9) имеет вид , откуда получаем систему линейных уравнений Эта система имеет бесконечное множество решений. Взяв за свободную переменную , нетрудно найти общее решение: . В качестве собственного вектора можно взять вектор . В частности, это означает, что сбалансированность торговли рассмотренных трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении . Задачи 7.1.В таблице 7.2 приведены балансовые данные, у.е.: Таблица 7.2
Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для увеличения конечного продукта первой отрасли в 2 раза, а второй отрасли - на 20%. 7.2. В таблице 7.3 приведены балансовые данные, у.е.: Таблица 7.3
Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для увеличения конечного продукта в отрасли Машиностроение (Отр.2) вдвое при условии, что другие конечные продукты сохранятся на прежнем уровне. 7.3. В таблице 7.4 приведены балансовые данные, у.е.: Таблица 7.4
Вычислить объемы валового выпуска отраслей, необходимые для того чтобы конечный продукты станкостроения и отрасли «добыча и переработка углеводородов» остались на прежнем уровне, а конечные продукты всех других отраслей увеличились в 1,5 раза. 7.4. Восстановить элементы балансовой таблицы 7.5
при условии, что структурная матрица и вектор конечного продукта заданы и равны: ; . 7.5. Структурная матрица экономики трех отраслей имеет вид: . Определить равновесные цены, при которых вектор норм добавленной стоимости будет равен . 7.6. Пусть в условиях задачи 7.5 вектор валового выпуска равен . Найти равновесные цены, при которых норма добавленной стоимости 1-й отрасли вырастет на 2, а в других отраслях не изменится. 7.7.В таблице 7.6 приведены балансовые данные, у.е.: Таблица 7.6
Найти равновесные цены, при которых вектор норм добавленной стоимости равен . Найти суммарную стоимость S конечных продуктов.
7.8.Восстановить элементы балансовой таблицы 7.7
при условии, что структурная матрица и вектор валового выпуска заданы и равны: ; . ОТВЕТЫ 1.2. ; ; ; . 1.3. ; . 1.4. ; . 1.5. ; . 1.6. ; ; . 1.7. ; . 1.8. а) ; . б) ; . 1.9. ; ; ; ; ; ; ; ; 1.10. ; ; ; ; ; . 1.11. а) ; б) . 1.12. а) ; б) . 1.13. а) ; ; б) ; ; в) ; . 1.14. 1.15. а) , б) , в) , г) , д) . 1.16. а) ; б) ; в) ; г) ; д) при четном n, при нечетном n; е) . 1.17. а) , б) , в) , г) , д) , е) . 1.18. , где . 1.19. ; , где . 1.20. а) i-я и j-я строки произведения поменяются местами; б) к i-й строке произведения прибавится j-я строка, умноженная на ; в) i-й и j-й столбцы поменяются местами; г) к i-му столбцу произведения прибавится j-й столбец, умноженный на . 1.21. а) , б) , в) . 1.22. , . 1.23. , . 1.24. , , . 1.25. а) ; б) ; в) ; г) . 1.27. а) , ; б) , ; в) , ; г) , ;
д) , ; е) ; ж) , . 1.28. а) ; б) ; в) ; г) . 1.29. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 1.30. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 1.31. а) ; б) . 1.32. a) положительно определена; б) положительно определена; в) отрицательно определена; г) отрицательно определена. 2.1. а) 18; б) 14; в) –38; г) 23; д) –7. 2.2. а) ; б) ; в) ; г) . 2.3. а) 1; б) 1; с) . 2.4. . 2.5. . 2.6. . 2.7. а) –2; б) –14; в) 4; г) 0. 2.8. а) 68; б) 0; в) 2; г) 0. 2.9.а) –108; б) 0; в) 180; г) 72. 2.10. а) ; б) ; в) ; г) . 2.11. а) ; б) ; в) 0. 2.12. а) ; б) ; в) . 2.13. а) ; б) ; в) 0. 2.14. а) ; б) . 2.21. а) ; б) ; в) . 2.22. . 2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. ; 1. 2.27. . 2.28. . 2.30. а) 0; б) 48; в)133. 2.31. а) 0; б) 12; в) 900. 2.32. а) 6; б) . 2.33. а) ; б) ; в) . 2.34. а) ; б) ; в) . 2.35. а) 394; б) 665; в) 640. 2.36. а) 21280; б) 100. 2.37. . 2.38. . 2.39. . 2.40. . 2.41. . 2.42. 1. 2.43. . 3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. . 3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. . 3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. , если , и , если . 3.25. при любом . 3.26. при и при ; при ; при . 3.30. У матрицы А единственным базисным минором является минор второго порядка ; у матрицы В – четыре : ; у матрицы С – шесть: ; у матрицы D – два: .
4.1. а) , б) , в) , г) . 4.2. а) , б) , в) , г) . 4.3. а) , б) , в) . 4.4. а) , б) . 4.5. а) б) . 4.6. а) , б) , 4.7. а) , б) . 4.8. а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) , . 5.1. . 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.6. . 5.7. . 5.8. Линейно независима. 5.9. Линейно зависима. 5.10. Линейно независима. 5.11. Линейно независима. 5.12. Линейно зависима. 5.17. . 5.18. . 5.19. . 5.20. . 5.21. Ни при каких . 5.22. , . 5.23. , . 5.24. , . 5.25. , , . 5.26. , , , . 5.27. , , , . 5.32. . 5.34. . 5.35. . 5.36. а) (1/2, 0, 1/2); б) (1, –1/2, 1/2). 5.37. . 5.38. –13. 5.39. а) , б) , в) . 5.40. а) (–3, 5, 7); б) (–6, 10, 14); в) (–12, 20, 28). 5.41. а) 24; б) 24; в) 24. 5.44. 6. 6.1. . 6.2. . 6.3. . 6.4. . 6.5. . 6.6. , , , . 6.7. , , , . 6.8. , , , . 7.1. . 7.2. ; ; . 7.3.
7.5. . 7.6. . 7.7. , .
ЛИТЕРАТУРА
1.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 224 с. 2. Беллман Р. Введение в теорию матриц, 2-е изд. – М.: Наука, 1976. – 352 с. 3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968. – 432 с. 4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 5-е изд. – М.: Физматлит, 2010. – 560 с. 5. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989.– 665 с. 6. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник. 5-е изд. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с. ОГЛАВЛЕНИЕ
Отпечатано на участке оперативной полиграфии редакционно-издательского отдела ТГУ
Заказ №____ от «___» ______2011 г. Тираж _____экз.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (709)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |