Преобразования движения в механизме

Рассматривается механизм с одной степенью подвижности , с вращающимся входным звеном, угол есть обобщенная координата механизма (1.3).

Сейчас мы поставим ограниченную задачу: определить, как движение входного звена преобразуется в движение других звеньев механизма. При этом конкретный вид функции нам не важен.

Положение звеньев механизма зависит лишь от его обобщенной координаты, поэтому для звена номер и точки на нем можно записать

(2.1)

(2.2)

здесь - угол поворота -го звена; - радиус-вектор точки в выбранной системе координат.

Функции (2.1), (2.2) есть функции положения. Дифференцируя их по времени с учетом (1.3), получим выражения для угловой скорости -го звена и скорости точки :

, (2.3)

; (2.4)

здесь - обобщенная угловая скорость механизма.

Для определения углового ускорения -го звена и ускорения точки продифференцируем по времени скорости (2.3) и (2.4):

, (2.5)

; (2.6)

здесь - обобщенное угловое ускорение механизма.

Входящие в выражения (2.3)-(2.6) производные и по обобщенной координате носят названия аналогов скоростей и ускорений:

-аналог угловой скорости; - аналог углового ускорения;

-аналог линейной скорости; -аналог линейного ускорения.

Размерность аналогов определяется размерностью обобщенной координаты. Еслиобобщенная координата есть угол поворота, то аналоги угло­вой скорости и углового ускорения, как следует из (2.3), (2.5), безразмерны, а аналоги линей­ной скорости и линейного ускорения (2.4), (2.6) имеют размерность длины. При выборе в качестве обобщенной другой координаты, не яв­ляющейся углом, размерности аналогов изменятся — их в этом случае следует поделить на размерность новой обобщенной коор­динаты. В любом случае аналоги являются относительными вели­чинами. Отметим, что аналоги численно равны скоростям и ускорени­ям, если , .

Конкретный вид функций положения (2.1) и (2.2) и аналогов (2.3)-(2.6) определяется строением механизма и размерами звеньев; эти функции являются геометрическими характеристика­ми преобразования движения в механизме.

Определение перечисленных характеристик механизма являет­ся целью кинематического анализа и составляет содержание его трех основных задач.

Задача о положениях состоит в определении функций поло­жения вида (2.1), (2.2); задача о скоростях заключается в отыскании функций ли­нейных и угловых скоростей (2.3), (2.4) (или только их аналогов , ); задача об ускорениях сводится к нахождению функций (2.5), (2.6) (или только аналогов , ).

Основной и наиболее сложной является первая из этих задач — задача о положениях; аналитически она обычно описывается не­линейными уравнениями. Решение двух других задач сводится к дифференцированию функций положения, которое может быть выполнено с использованием стандартных процедур дифференцирования в среде Mathcad.

Зная закон движения входного звена в реальном времени, можно пересчитать геометрические анало­ги кинематических величин, полученные на первом этапе, в ис­тинные скорости и ускорения (линейные и угловые) интересую­щих нас точек и звеньев механизма по формулам (2.3)-(2.6).

Для использования этих формул необходимо обобщенную угловую скорость и обобщенное угловое ускорение выразить через заданные и . С этой целью рассмотрим кинематику входного звена механизма.

Кинематика входного звена механизма.

Введем функцию углового положения входного звена, учитывающую заданное

направление его вращения в составе механизма:

, где

- обобщенная координата механизма (1.3);

- угол, соответствующий задаваемому начальному положению входного звена; - аналог угловой скорости входного

Рис. 2. звена. Очевидно, равняется или , аналог углового ускорения . Используя формулы (2.3) и (2.5), получим выражение для обобщенной скорости и обобщенного ускорения или, что то же самое, , .