F-тест качества спецификации парной линейной регрессионной модели

F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_выч и критического (табличного) F_крит значений F-критерия Фишера. F_выч определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы.

Коэффициент детерминации является случайной величиной (так как вычисляется по выборочным данным), и для оценки его статистической
значимости, в соответствии со стандартной процедурой, следовало бы
сравнить его вычисленное значение с табличным (критическим). Однако
таблиц распределения коэффициента детерминации не существует, поэтому для проверки статистической гипотезы о значимости R² используется косвенный метод: вычисляется некоторая вспомогательная статистика с известным распределением; проверяется гипотеза ее статистической значимости; устанавливается взаимосвязь между вспомогательной статисткой и коэффициентом детерминации; на основании этой взаимосвязи делается вывод о статистической значимости коэффициента детерминации. Для составления вспомогательной статистики рассмотрим две случайные величины U и V. Статистика U имеет распределение х² (хи-квадрат)

(1)

так как случайная величина , как было показано выше, имеет стандартное нормальное распределение, а ее квадрат можно рассматривать как сумму квадратов стандартных нормальных величин, включающую только одно слагаемое.

В качестве второй вспомогательной статистики, имеющей распределение х² с параметром, равным числу степеней свободы n - 2, используется статистика вида:

(2)

Статистика F, как легко проверить, совпадает с квадратом f-статистики для параметра b:

=

и имеет распределение Фишера с параметрами v₁=1,v₂=n-2 (n— объем выборки):

(3)

Для проверки гипотезы Н₀:b = 0 статистика (3) принимает вид:

.

Связь между статистиками F и R²для случая парной регрессии
(k=2) имеет вид:

F= (4)

Справедливость (4) проверяется непосредственно:

(5)

Таким образом, как следует из формулы (5), F = 0 в том случае, если R²=0. Поэтому, проверяя значимость F статистики (сравнивая ее вычисленное по выборочным данным значение с табличным), мы можем проверить статистическую значимость коэффициента детерминации. ЕслиF_выч<F_кр, то принимается нулевая гипотеза H₀:b = 0 и, следовательно, коэффициент детерминации незначим, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и коэффициент детерминации признается статистически значимым.