Теорема (существование и вычисление обратной матрицы)

А) Матрица обратима .

Б) Обратную матрицу можно вычислить по формуле

. (2.3)

Свойства обратной матрицы:

1) ,

2) ,

3) если и обратимые матрицы одного порядка, то матрица обратима и ,

4) ,

5) = .

Примеры решения задач

2.2.1.Найти матрицу , если , .

◄ 1) Произведение матрицы на число 2 – матрица

.

2) Поместив каждую строку матрицы на место столбца с тем же номером, получим транспонированную матрицу .

3) Так как размеры матриц и одинаковые – – то определена сумма этих матриц – матрица

. ►

2.2.2.Для матриц и найти следующие произведения: и , , и .

◄ 1) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то произведение определено. Матрица имеет столько же строк – 2, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 2, что и второй сомножитель . Находим по правилу (2.1) – «строка первого сомножителя на столбец второго»:

.

2) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то произведение также определено:

.

Мы видим, что , то есть произведение зависит от порядка сомножителей.

3) .

4) Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то матрица определена и имеет столько же строк – 3, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 3, что и второй сомножитель :

.

Так как (длина строк ) (высота столбцов ) , то матрица определена и имеет столько же строк – 2, что и первый сомножитель , и столько же столбцов – 2, что и второй сомножитель :

.►

2.2.3.Пусть – -матрица, – -матрица, – -матрица. Если а) или б) , то какими могут быть значения и ?

◄) а) Если , то

(длина строк ) (высота столбцов ),

(число строк ) (число строк ) (число строк ),

(число столбцов ) (число столбцов ) (число столбцов ).

Таким образом, и .

б) Если , то – -матрица,

(длина строк ) (высота столбцов ),

(число строк ) (число строк ) (число строк ),

(число столбцов ) (число столбцов ) (число столбцов ).

Таким образом, и . ►

2.2.4.Проверить, что матрица обратима, найти обратную матрицу по формуле (2.3), сделать проверку, пользуясь определением обратной матрицы.

◄ Матрица – квадратная, ее определитель

,

следовательно, матрица обратима, то есть обратная матрица существует. Найдем ее по формуле (2.3). Сначала найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

, ,

, .

Теперь

.

Сделаем проверку

,

то есть . Аналогично проверяется (проверьте!), что .

Согласно определению (формула (2.2)) найденная матрица является обратной к .►

2.2.5.Проверить, что матрица обратима, и найти для нее обратную матрицу.

◄ Найдем определитель матрицы:

Так как , то матрица обратима. Найдем обратную матрицу по формуле (2.3). Сначала выпишем и вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , ,

, , ,

, , .

По формуле (2.3) получаем

и, окончательно, . ►

2.2.6.Найти и , если – квадратная матрица -го порядка с .

◄ Матрица получается из матрицы умножением каждой строки на число . По свойству однородности определителя общий множитель каждой из строк можно вынести за знак определителя:

.

В силу свойства 1) умножения матриц в произведении можно не ставить скобки: . По свойству 5) произведения . Используя свойство 1) обратной матрицы и свойство 5) операции транспонирования, получаем .►

2.2.7.Упростить выражение , где и – квадратные матрицы одного порядка.

◄ Используем свойства 2)-4) обратной матрицы, формулу (2.2), свойства операций умножения и транспонирования:

.►