Задачи для самостоятельного решения. В задачах 2.3.3-2.3.4 найти и . 2.3.3

В задачах 2.1.1-2.1.2. найти матрицы и .

2.3.1. , .

2.3.2. , .

В задачах 2.3.3-2.3.4 найти и .

2.3.3. , .

2.3.4. , .

В задачах 2.3.5-2.3.6 найти и .

2.3.5. , .

2.3.6. , .

2.3.7.Найти и , если , .

2.3.8.Найти , если , .

2.3.9.Для матрицы найти и .

2.3.10.Для матрицы найти и .

2.3.11.Для матриц и найти , , …, и ,

2.3.12.Для матрицы найти ,

2.3.13.Известно, что , где – -матрица, а – -матрица. Найти размеры матрицы .

2.3.14.Известно, что , где – -матрица, а – -матрица, а – -матрица. Найти , и .

2.3.15.Пусть , и . Существуют ли следующие произведения:

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) .

2.3.16.Даны матрицы , и и . Существуют ли следующие произведения:

a) ,	b) ,	c) ,
d) ,	e) ,	f) ,
g)	h) ,	i) .

В задачах 2.3.17-2.3.18 для матрицы найти обратную матрицу .

2.3.17. .

2.3.18. .

В задачах 2.3.19-2.2.20 выяснить является ли матрица обратимой.

2.3.19. .

2.3.20. .

В задачах 2.3.21-2.2.22 найти матрицу, обратную к заданной.

2.3.21. .

2.3.22. .

2.3.23.Решить матричное уравнение , где , .

2.3.24.Решить матричное уравнение , где , .

2.3.25.Упростить выражение , где и – квадратные матрицы одного порядка.

2.3.26.Пусть – квадратная матрица с ненулевым определителем.

1) Упростить выражение для матрицы ;

2) доказать, что .

2.3.27.Пусть – квадратная матрица второго порядка с ненулевым определителем. Найти .

2.3.28.Пусть – квадратная матрица третьего порядка с . Найти .

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия и формулы

Система линейных уравнений и ее матричная запись

Система линейных уравнений с неизвестными (или просто линейная система) имеет вид

(3.1)

где – коэффициенты системы и , ,…, – свободные члены – заданные числа.

Введем основную матрицу системы, матрицу-столбец неизвестных и матрицу-столбец свободных членов:

, и .

В этих обозначениях линейную систему (3.1) можно записать в виде одного матричного уравнения

. ( )

Решением линейной системы (3.1) называется любой упорядоченный набор чисел – матрица-столбец , при подстановке которых в систему на место неизвестных получаем верные равенства.

Линейная система может быть несовместна – не иметь решений, совместна – иметь хотя бы одно решение. Совместная система может быть определенной – иметь единственное решение и неопределенной – иметь более одного решения.

Невырожденные квадратные линейные системы.

Матричное решение. Формулы Крамера

Линейную систему (3.1) с числом уравнений равным числу неизвестных будем называть квадратной, поскольку квадратной является основная матрица системы, и невырожденной, если , то есть основная матрица обратима.

Теорема Крамера. Невырожденная квадратная система имеет единственное решение. Его можно найти в матричном виде по формуле

(3.2)

или по формулам Крамера

, , (3.3)

являющимися поэлементной записью матричного равенства (3.2).