Коэффициент детерминации. Скорректированный коэффициент детерминации

² – величина разброса наблюдаемых значений y относительно среднего.

²= ² + ² + 2 ²( )

Вектор y в векторной форме:

(y - )' (y- ) = (y - )'(y - ) + ( )'( ) + 2(y - )( ),

2(y - )( ) = 0.
(y- )( )=e’( )=e’ ,

e’ векторы остатков ортогональны.

Таким образом:

²= ² + ²,

Где - общая сумма квадратов, общая сумма разброса y относительно

где -сумма квадратов остатков регрессии(не объясняются с пом. регрессии), - фактические и расчетные значения объясняемой переменной.

где — объяснённая сумма квадратов, мера разброса, объясняется с помощью регрессии.

R² – коэффициент детерминации, показывают какую часть дисперсии разброса эндогенной переменной относительно своего среднего удается объяснить колебаниями экзогенных переменных.

R²= , R² [0,1].

Коэффициент детерминации для модели с константой принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это интерпретируется как соответствие модели данным. Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 50% (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 70%). Модели с коэффициентом детерминации выше 80% можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 90%). Значение коэффициента детерминации 1 означает функциональную зависимость между переменными.

.Свойства R²:

1.R² возрастает при добавлении еще одного регрессора

2.R² изменяется при простейшем преобразовании зависимых переменных.

Основная проблема применения R² заключается в том, что его значение увеличивается от добавления в модель новых переменных, даже если эти переменные никакого отношения к объясняемой переменной не имеют. Поэтому сравнение моделей с разным количеством факторов с помощью коэффициента детерминации некорректно. Для этих целей можно использовать альтернативные показатели.

Для того, чтобы была возможность сравнивать модели с разным числом факторов так, чтобы число регрессоров не влияло на статистику R² обычно используется скорректированный коэффициент детерминации, в котором используются несмещённые оценки дисперсий:

R²_adj =

где n — количество наблюдений, а k — количество параметров.

Данный показатель всегда меньше единицы, но теоретически может быть и меньше нуля (только при очень маленьком значении обычного коэффициента детерминации и большом количестве факторов). Поэтому теряется интерпретация показателя как "доли".

Проверка общего качества коэффициента регрессии. Проверка гипотезы: H₀: .

Статистика критерия:

Статистика имеет распределение Фишера с степенями свободы, -статистика всегда положительна.

Гипотеза H₀ отвергается на заданном уровне значимости, если выполняется _c. Это означает, что объясненная дисперсия существенно больше остаточной, то есть уравнение регрессии достаточно качественно определяет динамику изменения зависимой переменной y.

Проверка гипотезы: H₀: .