Нестационарные ВР. Модель АRIMA

Напомним, что AR(1) процесс определяется уравнением , а условие его стационарности - . Процесс, порождаемый уравнением называется случайным блужданием (см. рисунок), а процесс случайное блуждание со смещением (обладает ярко выраженным трендом). Случайное блуждание не является стационарным процессом. При происходит быстрое удаление от начального значения.

Было принято при анализе рядов с выраженным трендом производить оценивание и выделение детерминированного тренда, после чего производить подбор динамической модели (например, ARMA) к ряду, «очищенному от тренда »,т.е. к ряду остатков от соответствующей оцененной регрессионной модели. После введения Боксом и Дженкинсом в обиход моделей АRIMA стало модным остационаривание рядов с выраженным трендом и медленным убыванием (оцененной) автокорреляционной функции путем перехода к рядам первых или вторых разностей. ВР называетсястационарным относительно тренда , если ряд стационарный. В таком случае говорят, что это TS-ряд. Таким образом, TS- ряд имеет тренд, после удаления которого с ним можно работать обычными методами, использующимися для стационарных рядов. Ряд вида имеет стохастический тренд, который можно удалить взятием разностей (процесс дифференцирования).

Временной ряд называется интегрированным порядка k (k = 1, 2, …), если:

• ряд не является TS рядом;

• ряд ∆^k полученный в результате k-кратного дифференцирования ряда является стационарным рядом;

• ряд ∆^k-1 полученный в результате (k– 1)-кратного дифференцирования ряда не является TS рядом.

Интегрированный ряд порядка d обозначается I(d). I(0) – стационарный ряд.

Можно сформулировать следующие правила:

•вычитание детерминированной составляющей ТS ряда приводит к стационарному ряду;

•вычитание детерминированной составляющей DS ряда приводит к DS ряду;

•дифференцирование TS ряда приводит к TS ряду;

•k –кратное дифференцирование ряда I(k) приводит к стационарному ряду;

Разностностационарным, или DS рядом называется интегрированный ряд порядка k= 1, 2, …Пусть ряд

—интегрированный порядка k. Если в результате к-кратного дифференцирования, получается стационарный ряд с параметрами ARMA (p,q), то говорят, что исходный ряд типа ARIMA(p,k,q).

ARIMA(p,k,0)= ARI (p,k) ARIMA(0,k,q)= IMA (k,q). Важным обстоятельством является также то, что в TS-рядах влияние предыдущих шоковых воздействий затухает с течением времени, a в DS-рядах такое затухание отсутствует и каждый oтдельный шок влияет с одинаковой силой на все последующие значения ряда.

Пример.

------нестацион.