Определение числа неизвестных

Вводимые в основную систему дополнительные связи имеют вид. моментной (угловой) связи, которая препятствует повороту узла, но не мешает линейной подвижности узла, или силовой (поступа­тельной) связи, которая препятствует только линейному пере­мещению узла. Угловые связи накладываются на все жесткие узлы, системы, а линейные — там, где есть независимые поступа­тельные перемещения узлов.

На рис. 56, а показан неподвижный портал рамной конструк­ции, который служит основой для разнообразных типов кранов. В качестве нагрузки приняты полезная G и линейная q от ветра. Дополнительные угловые связи для данной системы накладываются в узлах В и С. Для определения числа независимых линейных перемещений узлов рамы подсчитывается степень упругой по­движности системы П. Определение ее для рам базируется на следующих допущениях, принятых в МП: 1) концы стержней, соединенных жестко в узле, поворачиваются на один и тот же угол, т. е. угол между стержнями при деформации не меняется; 2) не учитывается влияние продольных N и поперечных Q сил на перемещения узлов; 3) расстояния между узлами при изгибе прямых стержней не меняются; 4) углы поворота вследствие малых значений принимаются равными их тангенсам.

Для рамы (рис. 56, а) изобразим шарнирную схему (рис. 56, б) путем установки шарниров в узлах В и С. Степень упругой по­движности равна П=ЗС – 2Ш, где С — число стержней рамы; 3 — число степеней свободы стержня на плоскости; Ш — число простых шарниров; 2 — число связей, накладываемых простым шарниром. Для рассматриваемого случая П = 3 × 3 — 2 × 4 = 1, т. е. имеем одно независимое поступательное (линейное) перемещение узлов В и С по горизонтали. Следовательно, необ­ходимо -ввести одну дополнительную связь, например в узле В, препятствующую этому перемещению. Число независимых по­ступательных перемещений равно числу дополнительных связей, обращающих шарнирную схему в геометрически неизменяемую. Перемещениями узлов В и С по вертикали вследствие продольных деформаций стержней пренебрегаем.

На рис. 56, в показана основная система. по МП, имеющая п_у = 2 — число угловых связей и п_л =1 — число линейных связей. Степень кинематической неопределимости по МП равна k_п = n_у + n_л. Для этой же рамы при расчете по МС степень статической неопределимости с_Н = 1. В общем случае k_H ≠ c_H .

На рис. 57показана безраскосная ферма мостового крана. Для этой фермы с_Н = 3п = =3×7 = 21, где п — число замкнутых контуров. Величина k_H = 16 + 7 = 23. Основная система (рнс. 56, в) представляет собой сочетание стандартных элемен­тов — балки ВС, защемленной по концам, и балок АВ и СD, защемленных на одном конце и шарнирно опертых — на другом. Решения для некоторых стандартных балок при действии на­грузки и смещении их концов, в том числе для балок, из которых образуются основные системы по рис. 56, в, приведены в табл. 2. Отсюда следует, что основная система МП может быть получена единственным способом.

а – схема нагрузки на портал; б – шарнирная схема рамы портала; в – основная система по МП; г – система, эквивалентная заданной; д, е, ж – единичные эпюры М₁ – М₃; з – грузовая эпюра; и – равновесие узла В при Z₁ = 1; k – равновесие узла С при Z₁ = 1; л – равновесие стержня ВС при Z₁ = 1; м – равновесие узла В при Z₃ = 1; н – равновесие узла В при учете действия внешней нагрузки.

Рисунок 56 – К расчету неподвижного портала методом перемещений.

Рисунок 57 – Безраскосная ферма мостового крана

В этом главное преимущество МП по сравнению с МС, что особенно существенно при расчете на ЭВМ. Для устранения противоречий между заданной системой (см. рис.56, а) и основной (см. рис. 56, в) переместим каждую до­полнительную связь последней на величину перемещения z₁, z₂, z₃ в заданной. Эти перемещения приводят к возникновению реакций, наложенных связей. От действия нагрузки в этих же связях также имеют место реакции. Так, в i-и связи суммарная реакция R_i (z₁, z₂, z₃, Р) является функцией перемещений z₁, z₂, z₃ и нагрузки Р. Эта реакция равна нулю, если в заданной системе в рассматриваемом узле не приложено никакой силы в направлении дополнительной связи. При этом основная система с наложенными свя­зями (см. рис.56, г) эквивалентна заданной. Полагая, i = 1, 2, 3, получим три уравнения равновесия:

(106)

Далее решаем систему уравнений (106) относительно z₁, z₂, z₃.