Прямоугольные координаты
Если в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz, то точка М пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата), обозначается М(x, y, z). Расстояние между двумя точками А(х1, у1, z1) и В(х2 , у2, z2) определяется по формуле . В частности, расстояние от точки М(x, y, z) от начала координат О определяется по формуле Если х1, у1, z1-координаты точки А, а х2, у2, z2- координаты точки В, то координаты х и у точки С, делящей отрезок АВ вотношении определяются по формулам ; ; Если λ == 1, то точка С(х, у,z) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты х и у средины отрезка А В определятся по формулам ; ;
Площадь треугольника на плоскости по известным координатам его вершин А (х1, у1), В(х2, y2), С (х3, у3) вычисляется по формуле . Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине. Если S = 0, то значит три точки лежат на одной прямой. Пример. Найти координаты точки С—средины отрезка, соединяющего точки А (—2, 4) и В (—4, 10). Решение. В формулахи возьмем х1 = - 2; х2 = - 4; у1= 4; = 10. Тогда абсцисса средины отрезка АВ х =-3; ордината - у= 7. Пример. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А (2, - 3), В(1, 1), С(- 6, 5). Решение: Задачу решим, воспользовавшись формулой площади треугольника = 12 Ответ. S = 12 кв. ед.
Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла φ между ними. Скалярное произведение векторов обозначается символом . = cosφ. Свойства скалярного произведения: 1. = (переместительный закон) 2. = 0, если (скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю) или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым. 3. 4. (распределительный закон) Скалярное произведение ортов осей координат: Если векторы заданы своими координатами: , то их скалярное произведение вычисляется по формуле = x1x2 +y1y2+z1z2.
Векторное произведение.
Векторным произведением векторов называется вектор , который определяется следующими условиями: 1) Его модуль равен sinφ,где φ - угол между векторами . Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах 3) ^ Основные свойства векторного произведения: 1) Векторное произведение равно нулю, если векторы коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым. 2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный = ; 3)( )´ = (распределительное свойство)
Если векторы заданы своими координатами: , то векторное произведение находим по формуле: = Площадь параллелограмма и треугольника, построенного на векторах , соответственно равны ,
Смешанное произведение Векторно-скалярное произведение трех векторов или смешанное их произведение вычисляется по формуле , если векторы заданы своими координатами: . Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах . Объем пирамиды, построенной на векторах , получим по формуле причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю. Пример. Начти объем пирамиды, если координаты ее вершин А(х1, у1, z1) и В(х2 , у2, z2) Решение: Рассмотрим векторы ,на которых построена пирамида. Зная координаты начала и конца каждого вектора, найдем проекции этих векторов на оси прямоугольной системы координат: , , для объема пирамиды получаем на основании формулы
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (433)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |