Второй замечательный предел
или Вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом получаем неопределенности типа , то вычисление этого предела в этом случае называется раскрытием неопределенности. Пример. Найти предел: 1. , здесь раскрываем неопределенность типа , поделив числитель и знаменатель на , где n = 5 (наивысшая степень х). 2. , здесь раскрыта неопределенность типа , поделив числитель и знаменатель на (х-2). 3. = ,здесь, раскрывая неопределенность , избавились от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженный множитель . 4. = . В этом примере неопределенность раскрыли, используя первый замечательный предел и формулы эквивалентности. 5. в этом примере неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела.
Непрерывность функции
Функция называется f(x) называется непрерывной в точке х0, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняется равенство , где , односторонние (левый и правый) пределы . Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке х0 . Когда у функции f(x) имеются односторонние пределы и и не все числа f(x0) , f(x0 - 0) и f(x0 + 0) равны между собой , то разрыв в точке х0 называется разрывом I рода. Величина называется скачком функции. Если , то разрыв в точке называется устранимым. Здесь полагая получают функцию непрерывную в точке х0. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то разрыв называется разрывом II рода. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Алгебраическая сумма, произведение и суперпозиция конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Отношение двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель не равен нулю. Отсюда следует, что всякая элементарная функция непрерывна в точках, в которых она определена. Пример. Исследовать на непрерывность: 1. имеет в точке х=2 разрыв I рода, поскольку . Скачек функции в точке х=2 равен
.
2. Функция f(x) = не определена в точке х = -1, потому в этой точке она имеет разрыв. Поскольку и , то в точке х = -1 функция имеется разрыв II рода.
Дифференциальное исчисление. Производная. Техника дифференцирования. Обозначение
Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел или , где = x2 –x1 – приращение аргумента, = у2 – у1 - приращение функции на отрезке [x1, x2]. Функция f(x) называется дифференцированной в точке х, если в этой точке существует производная . Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке х, т. е. . Если функция дифференцируема в каждой точке промежутка Х, то ее называют дифференцированной на промежутке Х.
Основные правила дифференцирования. Будем считать, что u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, а С – постоянная. Тогда: 4. 5.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (370)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |