Задачи на максимум, минимум функции

На прошлом занятии мы научились находить экстремумы-минимумы и максимумы функции. На этом занятии надо рассмотреть применение производной для нахождения наибольших и наименьших величин.

Во многих математических моделях, описывающих реальные ситуации, исследуется поведение функции на заданном отрезке. В частности нередко возникает задача нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Пусть дана функция на данном отрезке. Тогда справедливы следующие теоремы:

Теорема 1.Функция достигает на отрезке и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

Теорема 2. Наибольшего и наименьшего значений функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри его.

Теорема 3. Если наибольшее (или наименьшее)значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

 

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки, расположенные внутри отрезка.

3. Вычислить значения функции в критических токах, а также на концах отрезка.

4. Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке хЄ[-1; 1]

Решение:

1)

2)

3) Определим принадлежность критических точек данному отрезку

4) Вычислить значение функции в точках

; ; -1; 1

Наименьшее значение

Наибольшее значение

Пример 2. [-2; 1]

2) А(-2; 4) В(0; 0) С(-1;2)

Решить задачи.

1. Разбить число 20 на 2 слагаемых, произведение которых имело наибольшее значение. (10; 10)

2. Разбить число 10 на слагаемые, чтобы сумма их квадратов была наименьшая. (5; 5)

Домашнее задание

Построить график функции

1)

2)

Задача: Разбить тело 30 на 2 слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшая (15; 15)

 

 

Урок № 54. Тема 5. 17. Тема: Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применения дифференциала в приближенных вычислениях.

 

План занятия.

Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Применения дифференциала в приближенных вычислениях.

 

а) понятие бесконечно малой величины.

б) понятие дифференциала функции. Дана функция

Ее производная т.е. неограниченно

убывает (→0) при ∆х→0 т.е. α – б.н.в.

или , т.е.

при ∆х→0 стремится к 0 быстрее, чем у^/∆х называют главной частью приращения функции .

Определение. Главная часть у^/∆х приращение функции называется дифференциалом функции.

∆х примем

Определение. Дифференциал функции равен произведению функции на дифференциал аргумента.

Решить в аудитории.

Найти ауфункции

1) 2) 3)

4) 5)

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Какая величина называется бесконечно малой величиной?

3. Какие свойства приращения функции отражены в понятии дифференциала?

4. Приведите примеры записи связи между физическими величинами в дифференциалах.

5. С помощью какой замены можно получать приближенные формулы?

Домашнее задание.

Найти дифференциалы функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)