ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

Министерство сельского хозяйства РФ

ФБГОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет»

Анапский филиал

 

 

Теория вероятностей и

математическая статистика

 

Учебно-методическое пособие

 

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов очной и заочной форм обучения по направлениям подготовки «Экономика», «Строительство» и «Садоводство»

(квалификация (степень) «бакалавр»)

 

 

Анапа 2014

УДК 519.2

ББК 22.172

Г 52

Рецензенты:

Б.Б. Зайковский – кандидат экономических наук, доцент (Российский государственный социальный университет, Анапский филиал),

С.В. Бреев– кандидат технических наук (Кубанский государственный аграрный университет, Анапский филиал)

 

Гладкова Н.П.

 

Г 52

Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов очной и заочной форм обучения по направлениям подготовки «Экономика», «Строительство» и «Садоводство» (квалификация (степень) «бакалавр») / Н.П. Гладкова - Анапа, 2014. – 105 с.

Учебно-методическое пособие содержит краткое изложение основных теоретических положений разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», соответствующее требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для направлений «Экономика», «Строительство» и «Садоводство».

В пособие включены методические указания и контрольные задания, каждое из которых включает тридцать вариантов, рассмотрены алгоритмы решения типовых и прикладных примеров и задач.

Учебно-методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов очной и заочной форм обучения.

УДК 519.2

ББК 22.172

©Н.П. Гладкова, 2014

 

Содержание

 

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ. 4

Бином Ньютона и его свойства. 6

2.ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ. 8

3. КЛАССИЧЕСКОЕ, СТАТИСТИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.. 9

Классическое определение вероятности. 9

4.АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. 11

Операции над случайными событиями. 11

Правило произведения событий. 12

5.ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 13

Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий. 17

6.ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 18

Формула полной вероятности. 18

Формула Байеса. 19

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. 21

Наивероятнейшее число наступлений события (число успехов). 22

Приближенная формула Муавра ‒ Лапласа (локальная). 23

Интегральная формула Лапласа. 24

Формула Пуассона. 25

7. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. 26

Основные числовые характеристики случайных величин. 27

8. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. 30

9. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ. 36

11. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. 39

12. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ИНТЕРВАЛ. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. 45

13. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ(СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ). ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯМНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. 50

Функция распределения, плотность вероятности. 51

Вероятность попадания в заданную область и числовые характеристики случайных векторов. 51

14. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. УСЛОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. РЕГРЕССИЯ. 52

Ковариация и коэффициент корреляции. 54

Закон больших чисел. 57

15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. 57

Вариационный ряд. Варианты. Относительная частота варианты. 57

16. СТАТИСТИЧЕСКОЕ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ. ПОЛИГОН И ГИСТОГРАММА ЧАСТОТ. 59

17. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СРЕДНЯЯ. 62

18. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ, ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ. 65

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И ВЫБОРУ ВАРИАНТА 68

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 83

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. 86

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. 89

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. 90

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. 90

 

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ.

n – факториал ‒ произведение первых n ‒ натуральных чисел (обозначается n!).

Основными понятиями комбинаторики являются ‒ размещения, перестановки и сочетания.

Определение 1.Пусть имеется множество, содержащее n ‒ элементов.

Размещением из n ‒ элементов по m ‒ элементов (m ≤ n) ‒ называются все подмножества, содержащие m ‒ элементов и отличающиеся друг от друга или составом своих элементов или порядком их следования.

‒ число размещений из n ‒ элементов по m ‒ элементов.

Определение 2.Перестановками из n ‒ элементов называются размещения из n ‒ элементов по n ‒ элементов.

– число перестановок из n ‒ элементов.

Определение 3.Сочетаниями из n ‒ элементов по m ‒ элементов (m≤n) называются все m‒ элементные подмножества n ‒ элементного множества, отличающиеся друг от друга только составом своих элементов.

‒ число сочетаний из n ‒ элементов по m ‒ элементов.

 

Свойства сочетаний:

1.

Доказательство:

Так как

 

Следовательно,

Примеры:

 

2.

Доказательство:

Примеры:

3.

Доказательство:

Примеры: