ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теоремы сложения вероятностей. Теорема 1.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей. P (А+В) = P (А) +P (В) Доказательство: Пусть n ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие A или B; m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k) – элементарных событий. Получим
Следствие1.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Доказательство: Следствие 2.Сумма вероятностей случайных событий, образующих полную группу, равна единице.
Распространим теорему 1 на любое число попарно несовместных событий. Получим: Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного осуществления. Доказательство: Пусть n ‒ общее число элементарных событий; m ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; k ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Пусть среди (m+k) ‒ элементарных событий имеется l ‒ событий, благоприятствующих событиям A и B одновременно. Тогда событию A+B будет благоприятствовать (m+k‒ l) элементарных событий. Следовательно, получим: Пример 1. Из колоды в 36 карт, наудачу достается одна. Найти вероятность того, что вынутая карта или туз, или пиковой масти. Решение. Событие A ‒ вынутая карта туз. Событие B ‒ вынутая карта пиковой масти. A+B ‒ вынутая карта или туз, или пиковой масти, или пиковый туз. События A и B совместные, следовательно, по теореме 2 получим: Теоремы умножения вероятностей. События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми. Теорема 3.Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Доказательство: Пусть ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие А; ‒ общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие B; ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию А; ‒ число элементарных событий, благоприятствующих событию В. Тогда событию будет благоприятствовать – элементарных событий. Получим: Распространим эту теорему на любое число независимых событий.
Пример 2. Два студента сдают экзамен. Вероятность сдачи экзамена первым студентом . Вероятность сдачи экзамена вторым студентом . Найти вероятность того, что: 1) сдадут экзамен оба студента; 2) сдаст экзамен только один студент; 3) экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов. Решение: 1) сдадут экзамен оба студента. 2) C ‒ сдаст экзамен только один студент.
3) D ‒ экзамен сдаст хотя бы один из двух студентов. Второй способ решения: экзамен не сдадут оба студента.
Пример 3. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: 1. В цель попадет только один стрелок (событие А). 2. В цель попадет только два стрелка (событие B). 3. В цель попадет хотя бы один стрелок (событие С). Решение: попадание в цель i‒ стрелком. i = 1, 2, 3.
3. Первый способ. Второй способ. не попадет ни один стрелок.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (627)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |