Используя свойство линейности и соответствия (10), (9) из таблицы оригиналов и их изображений, найдем

б) заметим, что Согласно свойству линейности и соответствиям (1), (2) из таблицы получим, что . Тогда для заданного изображения оригинал может быть найден с помощью теоремы запаздывания. Полагая в (3.12) , получим

.

Если изображение представляем собой правильную рациональную дробь , где и многочлены от , причем степень числителя меньше степени знаменателя, то при нахождении оригинала поступают следующим образом: разлагают дробь на сумму простейших дробей вида

Находят оригинал для каждого слагаемого и, суммируя, получают оригинал данной функции.

Пример 4.3. Найти оригинал для изображения

Решение. Представим правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей

Чтобы найти коэффициенты приведем дроби к общему знаменателю, в результате чего будем иметь

Полагая , найдем, что . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений

откуда найдем Следовательно,

.

На основании свойства линейности и соответствий (2), (4), (6), (5) из таблицы получаем

.

Рассмотренный прием отыскания оригинала путем разложения дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей хорош своей общностью, однако часто приводит к громоздким выкладкам при определении коэффициентов. В таких случаях более прост переход от изображения к оригиналу при помощи теоремы разложения, которая носит название второй теоремы разложения Хевисайда.

Теорема разложения.

Пусть изображение представляет правильную рациональную дробь^*)[41]

*) (4.3)

При разложении на простейшие дроби могут иметь место два случая: I. Корни знаменателя простые; II. Корни знаменателя кратные. Рассмотрим оба случая.

I. Знаменатель дроби (4.3) имеет только простые корни. Обозначим простых корней знаменателя через . Тогда имеет место разложение

и можно представить в виде суммы простейших дробей

(4.4)

Найдем коэффициенты . Для определения умножим почленно это равенство на и затем перейдем к пределу при .

При второе слагаемое в правой части равенства стремится к нулю, а его левая часть становится неопределенностью вида . Тогда

Аналогично определяется любой коэффициент .

откуда

.

Подставляя в равенство (4.4), получаем

Воспользовавшись свойством линейности и соотношением ,

Получим формулу для искомого оригинала

(4.5)

Формула (4.5) представляет собой общую формулу теоремы разложения для случая простых корней знаменателя изображения.

Частный случай. В частном случае, когда один из корней знаменателя равен нулю, формуле (4.5) можно придать несколько другой вид. Пусть

. (4.6)

Обозначим корень, равный , через . Тогда корни определяются из уравнения . Продифференцируем равенство (4.6) по и найдем