Метод аналитического выравнивания рядов динамики

Этот метод изучения закономерностей в рядах динамики нашёл наиболее широкое применение на практике, так как он имеет существенное преимущество: он позволяет приближенно выразить определённым математическим законом развитие явления, то есть получить математическое описание этого развития в виде функции:

 

. (8.30)

 

По экономическому смыслу и возможности последующей интерпретации математических расчётов рекомендуется выделять 4 типа развития явления во времени:

1) равномерное развитие, то есть в арифметической прогрессии (с постоянным абсолютным приростом):

 

− прямая, (8.31)

где y_t – теоретические уровни ряда динамики;

a₀ – начальный уровень явления;

a₁ – абсолютное изменение явления за единицу времени (скорость ряда динамики).

При этом a₁ < 0 – тенденция уменьшения, а a₁ > 0 – тенденция роста.

2) равноускоренное (или равнозамедленное) развитие, то есть движение с постоянным во времени ускорением (замедлением):

 

− парабола, (8.32)

 

где a₂ – величина постоянного изменения скорости в единицу времени (то есть величина ускорения или замедления).

Если a₂ < 0 – замедление, а a₂ > 0 – ускорение.

3) развитие с переменным ускорением (замедлением):

− кубическая парабола, (8.33)

 

где a₃ – характеризует эффект возрастания ускорения (a₃ > 0) или его замедление, (a₃ < 0) во времени.

4) развитие по экспоненциальному закону с постоянным темпом роста, то есть в геометрической прогрессии:

 

, (8.34)

 

где T_p – темп роста (снижения) в единицу времени.

Выбор типа развития осуществляется по минимальной величине средней квадратической ошибки аппроксимации:

 

. (8.35)

 

Параметры уравнений определяются методом наименьших квадратов. Имеются стандартные программы для расчётов на ЭВМ. При ручном счёте для облегчения расчётов вводятся такие обозначения периодов или моментов времени, чтобы , следовательно, .

Рассмотрим получение уравнения тренда на примере прямой:

 

. (8.36)

 

Нахождение параметров a₀ и a₁ основано на использовании известного в математике метода наименьших квадратов, согласно которому расчёт a₀ и a₁ сводится к решению системы уравнений:

 

(8.37)

Для упрощения расчётов параметру t придаются такие значения, чтобы (способ «отсчёта от условного 0»).

Для ряда динамики, состоящего из нечетного количества уровней:

Год
t	-3	-2	-1

 

Для ряда динамики, состоящего из четного количества уровней:

Месяц
t	-5	-3	-1

При система уравнений принимает вид:

 

. (8.38)

 

Отсюда легко определить:

 

и . (8.39, 8.40)

 

Однако, учитывая тот факт, что «условный 0» − это середина ряда динамики, и анализируя формулу расчёта a_0, приходим к выводу, что a₀ – средний (серединный) уровень ряда динамики.

Например, по данным таблицы 8.16 определить уравнение тренда, характеризующее тенденцию изменения прибыли за 5 лет.

 

Таблица 8.16 – Расчет параметров уравнения тренда

Годы	Прибыль, млрд.руб	t	y*t	t2	yt = 32+5,6t	(yt-y)2
	Эмпирические уровни		-2 -1	-40 -28		Теоретические уровни	20,8 26,4 32,0 37,6 43,2	0,64 2,56 4,00 5,76 1,44
	Σy = 160	Σt = 0	Σyt = 56	Σt2 = 10	Σyt = 160	Σ(yt-y) = 14,4

 

Уравнение прямой y_t = a₀ + a₁t

При этом: ,

.

Тогда уравнение тренда принимает вид:

y_t = 32 + 5,6t.

Определяем теоретические уровни и рассчитываем ошибку аппроксимации

.

Для наглядности можно использовать графический метод:

yt = 32 + 5,6t

Рисунок 8.3 – Динамика прибыли организации

Экономическая интерпретация тренда: за анализируемый период среднегодовой размер прибыли, получаемой организацией, составил 32 млрд. руб. Наблюдается положительная тенденция в изменении прибыли со среднегодовым увеличением на 5,6 млрд. руб.

Несколько по иному дается интерпретация тренда, рассчитанного для ряда динамики, состоящего из четного количества уровней.

Например, по данным таблицы 8.17 определить уравнение тренда для характеристики динамики прибыли за 4 года.

 

Таблица 8.17 – Расчет параметров уравнения тренда

Годы	Прибыль, млрд.руб	t	y*t	t2	yt=15,5-0,9t
		-3 -1	-54 -16		18,2 16,4 14,6 12,8
	Σy = 62		Σyt = -18	Σt2 = 20	Σyt = 62

 

 

y_t = 15,5 - 0,9*t – уравнение тренда.

Экономическая интерпретация тренда: среднегодовой размер прибыли составляет 15,5 млрд. руб., однако наблюдается снижение уровня прибыли о среднегодовым уменьшением 1,8 млрд. руб. (0,9 * 2).

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе предполагает получение уравнения:

(8.41)

при условии

; (8.42)

 

; (8.43)

 

. (8.44)

Особый интерес в экономической интерпретации представляет а₂ , который позволяет характеризовать ускорение абсолютных приростов ряда динамики. Размеры этого ускорения равны по периодам, т.е. это средний размер ускорения. При этом интерпретация а₂ при упрощенном способе расчетов ( ) следующая:

а) размер ускорения равен 2*а₂, если ряд динамики состоит из нечетного количества уровней;

б) размер ускорения равен 8*а₂, если – из четного.

Параметр а₁ показывает скорость развития ряда динамики. В данном случае уровни скорости по периодам не равны.

Параметр а₀ – середина выровненного ряда динамики.

 

Таблица 8.18 – Расчет параметров уравнения тренда

Годы	Выпуск продук- ции, млн. руб.	t	y*t	y*t2	t4	t2	yt=5,6+4,7t+1.2t2	Разница теор. уровней
первая (ско-рость)	вторая (уско-рение)
	1,0 2,0 6,0 11,0 20,0	-2 -1	-2 -2				18,2 16,4 14,6 12,8	- 1,1 3,5 5,9 8,3	- - 2,4 2,4 2,4
	Σy=40			Σyt= 97		Σt2=10	Σyt=40

 

, (8.45)

 

, (8.46)

 

, (8.47)

 

, (8.48)

 

. (8.49)

Вывод: положительная тенденция со средним ускорением абсолютных приростов выпуска продукции, равным 2,4 млн. руб. (1,2*2) в год.