Примеры выполнения заданий лабораторной работы

О.Ю. ГОРЛОВА, В.И. Самарин

 

 

Лабораторные работы

По математике

Для студентов-бакалавров ОФО

по направлению подготовки «Строительство»

 

Раздел 1

 

 

Сочи ± РИЦ ФГБОУ ВПО «СГУ» ± 2013

 

 

УДК 51

ББК 22.1я73

 

 

Представлено кафедрой прикладной математики ФИТиМ

Рекомендовано к печати Ученым советом факультета информационных технологий

и математики СГУ (протокол № 3 от 24.11.2012)

 

Горлова О.Ю., Самарин В.И. Лабораторные работы по математике

Для студентов-бакалавров ОФО по направлению подготовки

«Строительство». Раздел1. – Сочи: РИЦ ФГБОУ ВПО «СГУ», 2013. – 105 с.

 

 

Приведены задания лабораторных работ по математике (темы: «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений», «Векторы», «Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы», «Прямая и плоскость», «Кривые второго порядка», «Пределы и непрерывность функций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»). По каждой лабораторной приводится теоретический минимум и примеры выполнения заданий.

 

УДК 51

ББК 22.1я73

 

© О.Ю. Горлова, В.И. Самарин, 2013

© ФГБОУ ВПО «СГУ», 2013

 

Лабораторная работа №1

Матрицы и определители

 

Теоретический минимум

1. Матрица.

2. Квадратная матрица.

3. Единичная матрица.

4. Произведение матриц.

5. Определитель квадратной матрицы.

6. Минор элемента a_ijопределителя.

7. Алгебраическое дополнение элемента a_ijопределителя.

8. Обратная матрица.

 

Задания

1. Вычислить определители: а) 2-го порядка; б) 3-го порядка тремя способами; в) 4-го порядка:

 

№	Определители	№	Определители
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .

 

2. Перемножить матрицы:

 

№	А×В	№	А×В
1			Найти , если А =

3. Найти :

 

№	Матрица А	№	Матрица А	№	Матрица А

 

 

Справочный материал

к 1-й лабораторной работе

 

1. Матрица размера m×n – таблица А = (a_ij)_m×n, в которой m строк и n столбцов; a_ij– элемент матрицы, который находится в i-й строке и в j-м столбце (элементом матрицы может быть число, алгебраическое выражение, функция и т.д.).

 

2. Транспонированная матрицаА^Тк матрицеА − матрица, строки которой являются соответствующими по номерам столбцами исходной матрицы А; при транспонировании матрицы А размера m´n получается матрица А^Т размера n´m.

3. Квадратная матрица n-го порядка – матрица, у которой n строк и n столбцов; квадратные матрицы соответственно первого, второго и третьего порядка:

А_1´1=(a₁₁); A_2´2= ; A_3´3= .

4. Главная диагональ квадратной матрицы – диагональ от левого верхнего угла к правому нижнему углу матрицы, т.е. проходящая по элементам матрицы с одинаковыми индексами: a₁₁, a₂₂, …, a_nn; вторая диагональ (от левого нижнего угла к правому верхнему углу) называется побочной диагональю квадратной матрицы.

 

5. Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, не стоящие на главной диагонали, – нули.

 

6. Единичная матрицаЕ – диагональная матрица, все элементы которой на главной диагонали – единицы; Е_n − единичная матрица n-го порядка.

 

7. Треугольная матрица – квадратная матрица, все элементы которой ниже главной диагонали – нули.

 

8. Трапецеидальная матрица – матрица, в которой число нулей, стоящих с начала каждой следующей строки, превышает это число нулей в предыдущей строке, все нулевые строки, если они имеются в матрице, расположены ниже последней ненулевой строки, а число столбцов матрицы больше числа ненулевых строк.

 

9. Матрица ступенчатого вида– треугольная матрица и трапецеидальная матрица.

 

10. Равенство матриц:две матрицы одинакового размера A = (a_ij)_m´n и B = (b_ij)_m´n равны, если равны все их соответствующие элементы: a_ij= b_ij; обозначение равенства матриц: A = B.

 

11. Произведение матриц при умножении матрицыA = (a_ij)_m´qслева на матрицуB = (b_ij)_q´n– матрица C =(с_ij)_m´n= AB, у которой элемент с_ij, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме парных произведений элементов i-й строки матрицы А и соответствующих по номерам элементов j-го столбца матрицы B: с_ij= a_i1∙b_1j+ a_i2∙b_2j+ …+ a_iq∙b_qj; A(BС) = (АВ)С; A(B + С)= АВ + АС; в общем случае АВ ≠ ВА, однако для квадратной матрицы А n-го порядка: АЕ_n = Е_nА = А.

Внимание!Матрицу А можно умножить слева на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, при этом матрица С = АВ имеет столько строк, сколько строк у матрицы А, и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы В.

 

12. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы:

Ø взаимная перестановка двух строк или столбцов;

 

Ø умножение строки или столбца на произвольное ненулевое число (деление на число а ≠ 0 можно рассматривать как умножение на число 1 ∕ а);

 

Ø прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число, или прибавление к элементам одного столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число (вычитание можно рассматривать как сложение с умноженным на (–1) вторым слагаемым), что кратко формулируется, как: прибавление к одной строке другой строки, умноженной на произвольное число, или прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на произвольное число.

 

13. Эквивалентные матрицы – матрицы, которые могут быть получены друг из друга элементарными преобразованиями; обозначение эквивалентных матриц: А ~ В. Элементарными преобразованиями любую ненулевую матрицу можно привести к эквивалентной матрице ступенчатого вида.

 

14. Определитель (детерминант) квадратной матрицы А_n = (a_ij)_n×n (обозначение определителя: det A или|A|, или Δ) – алгебраическая сумма произведений элементов матрицы, составленных по определенному правилу:

Ø определитель 1-го порядка det(a₁₁) = a₁₁, т.е. равен самому элементу матрицы;

Ø определитель 2-го порядка = a₁₁∙a₂₂ − a₂₁∙a₁₂, если знак произведения графически заменить отрезком, соединяющим перемножаемые элементы, то схему вычисления определителя 2-го порядка можно представить, как:

 

Ø определитель 3-го порядка вычисляется по правилу треугольников, илииначе поправилу Саррюса, т.е. по схеме:

 

 

(т.е. определитель 3-го порядка равен сумме произведений из трех множителей, равных элементам на главной диагонали и находящихся в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна главной диагонали, минус сумма произведений из трех множителей, равных элементам на побочной диагонали и находящихся в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна побочной диагонали);

Ø определитель любого порядка можно вычислять разложением по какой-либо строке или какому-либо столбцу (это приводит к последовательному уменьшению порядка определителя, а определитель до 3-го порядка уже можно рассчитать указанными способами): определитель равен сумме произведений элементов произвольно выбранной строки (произвольно выбранного столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения А_ij=(−1)^i+j∙M_ij, где M_ij– минор элемента a_ij, т.е. определитель, получаемый из элементов матрицы после вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

15. Свойства определителей:

Ø если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец, то ее определитель равен 0;

Ø если матрица содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то ее определитель равен 0;

Ø общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить в качестве множителя перед определителем;

Ø определитель не изменится, если к строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на любое число, что справедливо и для столбцов матрицы;

Ø если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный;

Ø определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов на главной диагонали;

Ø det (A×В) = det (A)×det(В), где A и В – матрицы одного порядка;

Ø det A^Т = det A, где А^Т– транспонированная матрица к квадратной матрицеА, т.е. матрица, строки которой являются соответствующими по номерам столбцами исходной матрицы А.

16. Обратная матрица к квадратной матрицеА – матрица А⁻¹, для которой выполняется условие АА⁻¹= А⁻¹А = Е, где Е – единичная матрица, порядок которой совпадает с порядком матрицы А. Обратная матрица А⁻¹ существует и определяется однозначно, только если det A ¹ 0.

 

17. Матричный метод нахождения обратной матрицы:

Ø приставить к матрице А справа единичную матрицу Е того же порядка, что и А: (А|Е);

Ø в матрице А выбрать ненулевой элемент (называемый ведущим для столбца, в котором он находится), и с помощью этого элемента элементарными преобразованиями строк матрицы (А|Е) занулить все остальные элементы этого столбца;

Ø мысленно вычеркнуть отработанный ведущий элемент с его строкой и столбцом и выбрать следующий ведущий элемент; операцию по занулению элементов в матрице А завершить, если в каждой ее строке и в каждом столбце окажется только по одному ненулевому элементу;

Ø перестановкой строк и их делением на значения соответствующих ненулевых элементов в левой части преобразуемой матрицы (А|Е) получить в этой части единичную матрицу, тогда в правой части образуется искомая обратная матрица А⁻¹, т.е. (А|Е) ~ (Е|А^–1).

18. Расчет обратной матрицыА^–1 по алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы:

Ø найти det A и, если он отличен от нуля, продолжить расчет обратной матрицы, если же det A = 0, то сделать вывод, что обратной матрицы для A не существует;

Ø вычислить все алгебраические дополнения А_ijэлементов a_ijматрицы А;

Ø построить матрицу алгебраических дополнений

;

Ø построить союзную матрицу А* = ;

Ø записать обратную матрицу А^–1 = ∙А*;

Ø проверить правильность результата, убедившись в выполнении условия А∙А^–1 = Е или А^–1∙А = Е.

Обратной матрицей для матрицы 2-го порядка А = является матрица А ^{– 1} = × .

Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1^o. Вычислить определители: а) ; б) ; в) , причем определитель 3-го порядка тремя способами.

 

Решение.

 

а) Определитель второго порядка равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали:

Δ₁ = (−4)∙(−2) – [3∙(–5)] =8 – (– 15) = 23.

б)

1-й способ: вычисление определителя по «правилу треугольников».

Согласно «правилу треугольников» получаем:

Δ₂=3∙3∙2 + 4∙6∙(−1) + 1∙0∙2 – [2∙3∙(−1) + 6∙0∙3 + 4∙1∙2] =

18 – 24 + 0 – (–6 + 0 + 8) = – 6 – 2 = − 8.

2-й способ: вычисление определителя разложением по строке или столбцу.

Выберем для разложения третий столбец, содержащий 0, тогда получим

Δ₂ = (−1)∙А₁₃ + 0∙А₂₃ + 2∙А₃₃ = (−1)∙(−1)^{1 + 3} ∙ + 2∙(−1)^{3 + 3} ∙ = −18 +10 = − 8.

3-й способ: вычисление определителя после его предварительного преобразования.

Используем свойство: определитель треугольной матрицы равен произведению ее элементов на главной диагонали.

Для приведения заданного определителя к треугольной форме воспользуемся следующими свойствами определителей:

· если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак на противоположный (т.е. чтобы при этом сохранить значение определителя, его следует умножить на – 1);

· если к строке, умноженной на а, прибавить другую строку, умноженную на b, то определитель изменит свое значение в а раз (т.е., чтобы он не изменил своего значения, надо одновременно с указанной операцией сложения строк, разделить определитель на число а);

· общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить в качестве множителя перед определителем.

Преобразования определителя выполняем в следующей последовательности:

 

III стр. + 2×I стр.

I стб. « III стб.

= = =

 

	Из III стр. выносим общий множитель 8
		3×III стр. – II стр.

= = =

= (–1)×8× ×(–1)×3×(–1) = – 8.

 

в) Определитель можно вычислить разложением по строке или по столбцу. Например, при разложении определителя по 1-й строке получим:

Δ₃ = 4∙А₁₁ + (−1)∙А₁₂ + 1∙А₁₃ + 0∙А₁₄,

где А₁₁, А₁₂, А₁₃, А₁₄ – алгебраические дополнения соответствующих элементов 1-й строки.

Однако можно уменьшить число слагаемых, если, используя свойства определителей и выполнив соответствующие преобразования, увеличить число нулей в 1-й строке:

I стб. – 4×III стб.

II стб. + III стб.

= = =

 

= = 1×(–1)×(–1) + (–3)×1×5 + 5×(–3)×(–4) – [(–4)×(–1)×5 + (–3)×5×(–1) + 1×(–3)×1] = 1 – 15 + 60 – (20 + 15 – 3) = 46 – 32 = 14.

 

Ответ:Δ₁ = 23; Δ₂ = – 8; Δ₃ = 14.

 

2^o. Перемножить матрицы: а) найти матрицу С = А×В, если матрица , матрица ; б) найти матрицу С = А², если .

Решение.

 

а) Проверяем существование матрицы С = А×В: матрицу А можно умножить на матрицу В, поскольку число столбцов матрицы А (первого множителя) равно числу строк матрицы В (второго множителя), равно 3. Следовательно, С = А×В существует.

Определяем размер матрицы С = А×В: число строк матрицы С равно числу строк матрицы А (первого множителя), т.е. матрица С имеет 2 строки; число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В (второго множителя), т.е. матрица С имеет 3 столбца. Т.о., размер матрицы С: 2´3.

Находим значения элементов матрицы С = А×В. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и в первом столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов первого столбца матрицы В.Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и во втором столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов второго столбца матрицы В и т.д.:

 

.

б) Проверяем существование матрицы С = А² = А×А: матрицу А можно умножить на матрицу А, поскольку число столбцов матрицы А (первого множителя)равно числу строк матрицы А (второго множителя), равно 3. Следовательно, С = А², т.е. квадрат квадратной матрицы А, существует.

Определяем размер матрицы С = А² = А×А: число строк матрицы С равно числу строк матрицы А (первого множителя), т.е. матрица С имеет 3 строки; число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы А (второго множителя), т.е. матрица С имеет 3 столбца. Т.о., размер матрицы С: 3´3.

Находим значения элементов матрицы С = А² = А×А. Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и в первом столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов первого столбца матрицы А.Элемент матрицы С, стоящий в первой строке и во втором столбце, равен сумме попарных произведений элементов первой строки матрицы А и соответствующих элементов второго столбца матрицы А и т.д.:

 

 

=

 

= .

Ответ: а) ; б) .

3^o. Найти А^–1,если матрица .

Решение.

 

а) Расчет обратной матрицы матричным методом.

Приставим справа к матрице А единичную матрицу:

(А|Е) = .

 

В качестве 1-го ведущего элемента используем (– 1) во 3-м столбце матрицы А. С помощью этого элемента зануляем единственный не равный 0 отличный от ведущего элемент этого столбца матрицы А, произведя соответствующее элементарное преобразование строк матрицы (А|Е):

стр.: III+3∙II стр.: III+2∙I

(А|Е) = ~ .

 

После мысленного исключения из полученной матрицы строки и столбца использованного ведущего элемента, в оставшихся строках и столбцах матрицы А в качестве следующего ведущего элемента выбираем (– 2) в ее 1-м столбце, и с помощью этого элемента зануляем остальные элементы этого столбца, произведя соответствующие элементарные преобразования строк матрицы (А|Е):

стр.: 2∙II+I стр.: 2∙III+5∙I

~ .

 

Исключая из рассмотрения строки и столбцы матрицы, образовавшейся на месте матрицы А, в которых находились использованные ведущие элементы, устанавливаем, что для зануления элементов во 2-м столбце в качестве ведущего элемента остался элемент, равный 1:

стр.: I+3×III стр.: II+III

~ .

 

Т.о., на месте исходной матрицы А получена эквивалентная ей матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой имеется только один ненулевой элемент. Чтобы эти элементы приняли значение 1, разделим первую строку полученной матрицы (А|Е) на (– 2) и вторую строку на (– 2):

 

стр.: I ∕ (–2) стр.: II ∕ (–2)

~ .

 

Чтобы сформировать в левой части полученной матрицы единичную, переставим строки:

 

 

стр.: III↔II

~ = (Е|А ^–1).

Следовательно, А ^–1 = .

 

Проверка: АА ⁻¹ = ∙ =

 

=

 

= = = Е, т.е., действительно, обратной к матрице является матрица А ^–1 = .

б) Расчет обратной матрицы по алгебраическим дополнениям элементов исходной матрицы.

Имеем: определитель матрицы А равен Δ = det A = = – 1; алгебраические дополнения элементов а_ijматрицы системы А:

 

А₁₁ = = 8, А₁₂ = – = – 5, А₁₃ = = 3,

 

А₂₁ = – = 9, А₂₂ = = – 6, А₂₃ = – = 4,

 

А₃₁ = = 3, А₃₂ = – = –2, А₃₃ = = 1.

 

Составляем союзную матрицу: А* = = .

 

Следовательно, А⁻¹ = ×А* = = .

Ответ:А ^–1 = .