Лабораторная работа № 7

1. Функция (числовая функция)у = у(х) – зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х Î соответствует единственное значение у; независимая переменная х называется аргументом функции.

2. Числовая последовательность– функция, областью определения которой является множество натуральных чисел; числовая последовательность обозначается как {u_n}, n Î .

3. Монотонная числовая последовательность – возрастающаяпоследовательность (т.е. последовательность {u_n}, в которой u_n £ u_{n +1} для всех п) или убывающая последовательность (т.е. последовательность {u_n}, в которой u_n £ u_{n +1} для всех п).

4. Ограниченная числовая последовательность– последовательность {u_n}, для которой существует такое число С Î , что |u_n| £Cдля всех n.

5. Предел числовой последовательности{u_n} – такое конечное число А, что с ростом п величина |u_n– A| сколь угодно близко приближается к нулю, т.е. для любого сколь угодно маленького числа ε > 0, начиная с некоторого номера N(т.е. при n³N) будет выполняться неравенство |u_n– A| < ε; обозначение предела числовой последовательности:

6. Теорема Вейерштрасса: если, начиная с некоторого номера N, последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

7. Сходящейся числовая последовательность– последовательность {u_n}, имеющая конечный предел; неограниченно возрастающая монотонная последовательность (обозначение: ), неограниченно убывающая монотонная последовательность (обозначение: ) и последовательность, для которой предела не существует, называется расходящейся.

8. Бесконечно большие последовательности– последовательности {u_n}, для которых или ; обозначение бесконечно больших последовательностей: .

9. Бесконечно малые последовательности – последовательности {u_n}, для которых .

10. Предел функции у = у(х) в точке х = х₀ – такое конечное число А, что для любой бесконечной последовательности точек {x_n} на оси х, сходящейся к точке х = х₀, т.е. когда = х₀, соответствующая последовательность {y_n = y(х_n)} сходится к точке y = А, т.е. когда = А; обозначение предела функции у = у(х) в точке х = х₀: = А. Число А называется пределом функции y = y(x)при х ® + ∞, если с ростом х значение функции подходит как угодно близко к А: = А; если же при х ® – ∞, значение функции y = y(x)стремится к числу В, то = В; если А = В, то обозначение предела функции: = = А.

11. Бесконечно большая – функция y= y(х), для которой = ∞, где х₀ – конечное число или ∞ (т.е. один из символов + ∞, или – ∞).

12. Бесконечно малая в окрестности точки х = х₀ – функция y= y(х), для которой = 0, где х₀ – конечное число; бесконечно малая на бесконечности – функция y= y(х), для которой = 0, где ¥ один из символов + ∞, или – ∞.

13. Бесконечно малые одного порядка в окрестности точки х₀ – бесконечно малые у₁(х) и у₂(х), предел отношения которых в точке х = х₀ равен конечному числу А ≠ 0; если = 0, то у₁(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем у₂(х), что обозначается как: у₁(х) = ο(у₂(х)).

14. Эквивалентные бесконечно малыев окрестности точки х = х₀ – бесконечно малые у₁(х) и у₂(х), предел отношения которых в точке х = х₀ равен 1 (обозначение эквивалентных малых: у₁(х) ~ у₂(х)). Примеры эквивалентных малых в окрестности точки х = 0: sin α(х) ~ tg α(х) ~ arcsin α(х) ~ arctg α(х) ~ e^α(х) – 1 ~ α(х); a ^α(х) – 1 ~ α(х)·ln a; ln(1 ± α(х)) ~ ± α(х); log_a(1 ± α(х)) ~ ; (1 ± α(х))^a – 1 ~ ± a·α(х); 1 – cos α(х) ~ .

15. Таблица некоторых пределов функций:

№№ п/п	Пределы	Примечания
1.	= = 1	1-й замечательный предел
2.	= (1∞) = е; = (1∞) = е	2-й замечательный предел, е » 2,7183
3.	= (1∞) = ; = (1∞) =
4.	= = 1; = =	0 < a < + ¥, a ≠ 1
5.	= = 1; = = ln a	0 < a < + ¥, a ≠ 1
6.	= = a	a ≠ 0
7.	= (∞0) = 1	– ∞ < a < + ∞
8.	= 1, в частности, =1	– ∞ < a < + ∞; неопределенность типа ∞0 при 0 < a < + ¥ и типа 00 при – ¥ < а < 0
9.	= 1	0 < a < 1; неопределенности нет: 10 = 1
10.	= 1	0 < a < + ¥; неопределенности нет: С0 = 1
11.	= 0; = + ∞	0 < a < 1
12.	= +∞; = 0	1 < a < + ¥
13.	= + ∞	0 < a < + ¥
14.	= 0	– ¥ < а < 0
15.	= – ∞	0 < a < 1
16.	= + ∞	1 < a < + ¥

16. Методы вычисления предела функции :

Ø заменить аргумент функции х его предельным значением х₀, используя свойства непрерывных функций: = у(х₀), где х₀ внутренняя или граничная точка области определения непрерывной функции у = у(х): если в результате получено конечное число А или бесконечное значение предела (+ ∞ или – ∞), то предел найден;

Ø если у(х₀) представляет неопределенность, то использовать методы ее раскрытия:

– для раскрытия неопределенностей вида и (при этом можно свести к , т.к. отношение бесконечно больших β₁/β₂ в силу β₁ = 1/α₁ и β₂ = 1/α₂, где α₁ и α₂ – бесконечно малые, можно заменить отношением α₂/ α₁ = β₁/β₂):