Лабораторная работа № 2. Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системаmлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными–

a₁₁∙x₁ + a₁₂∙x₂ + … + a_1n∙x_n = b₁,

a₂₁∙x₁ + a₂₂∙x₂ + … + a_2n∙x_n = b₂,

………………………………………

a_m1∙x₁ + a_m2∙x₂ +…+ a_mn∙x_n = b_m,

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные, a_ij (i = , j = ) – числовые коэффициенты при неизвестных, числа в правой части системы b_i (i = ) – свободные члены системы; отсутствие каких-либо неизвестных в уравнении равносильно наличию нулевых коэффициентов при этих неизвестных.

2. Основная матрица системы линейных уравнений– матрица коэффициентов при неизвестных в системеуравнений:

А = ,

строки матрицы соответствуют уравнениям системы, столбцы – неизвестным.

3. Расширенная матрица системы линейных уравнений– матрица вида

(А|B) = .

4. Ранг основной матрицы системы– число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной основной матрицы системы А.

5. Ранг расширенной матрицы системы– число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной расширенной матрицы системы (А|B).

6. Матричная форма записи системы линейных уравнений:A∙X = B, где матрица – вектор-столбец неизвестных, матрица – вектор-столбец свободных членов, А – основная матрица системы.

7. Однородная система – система уравнений, все свободные члены которой равны нулю; в матричной форме – система с нулевым вектором-столбцом В.

8. Неоднородная система – система уравнений, хотя бы один свободный член которой отличен от нуля.

9. Решение системы – совокупность значений неизвестных, при которых каждое уравнение системы обращается в тождество.

10. Совместная система – системауравнений, имеющая хотя бы одно решение; однородная система уравнений всегда совместна, так как ей удовлетворяет нулевое (тривиальное)решение: x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

11. Несовместная система– системауравнений, которая не имеет ни одного решения.

12. Определенная система– совместная системауравнений, имеющая единственное решение.

13. Неопределенная система – совместная системауравнений, которая имеет более одного решения.

14. Теорема Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы.

15. Свободные неизвестные – неизвестные в решении неопределенной системы уравнений, через которые можно выразить все остальные; число свободных неизвестных равно числу неизвестных в системе минус ранг основной (или равный ему ранг расширенной) матрицы системы.

16. Базисные неизвестные – неизвестные, которые в решении неопределенной системы уравнений выражены через свободные; число базисных неизвестных равно рангу основной (или равному ему рангу расширенной) матрицы системы.

17. Частное решение системы – каждое решение неопределенной системы уравнений при заданных значениях свободных неизвестных-параметров.

18. Общее решение системы – совокупность всех частных решений системы уравнений.

19. Базисное решение системы – частное решение неопределенной системы уравнений, в котором все свободные неизвестные приравнены нулю.

20. Формулы Крамера – формулы расчета решения системы n линейных уравнений с n неизвестными A∙X = B, для которой определитель системы Δ= det A ≠ 0: х_j = Δ_j ∕ Δ, где Δ_j – дополнительные определители системы, j = , получаемые из определителя системы заменой соответствующего j-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при неизвестной x_j) столбцом свободных членов данной системы.

21. Матричный способ решения системы линейных уравнений, для которой Δ = det A ≠ 0: X = А⁻¹∙B, где А⁻¹ – обратная матрица к основной квадратной матрице системы А; матрица В – вектор-столбец свободных членов системы; матрица Х – вектор-столбец неизвестных системы.

22. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений – метод решения системы линейных уравнений, предусматривающий прямой ход, в процессе которого расширенная матрица системы (А|B) элементарными преобразованиями ее строк приводится к ступенчатому виду, и обратный ход, в процессе которого последовательной подстановкой найденных значений базисных неизвестных находится решение системы.