Лабораторная работа № 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Теоретический минимум 1. Определение производной функции в точке. 2. Геометрический смысл производной. 3. Механический смысл производной. 4. Правила дифференцирования: производная алгебраической суммы, произведения и частного. 5. Производная параметрически заданной функции. 6. Производная сложной функции. 7. Производные основных элементарных функций. 8. Уравнение касательной к графику функции. 9. Уравнение нормали к графику функции. 10. Правило Лопиталя. Задания 1. Вычислить производную функции , где функции ji(x) и yj(x) находятся из таблиц:
а значения параметров а, k, m, n и индексов i и j определяются в соответствии с вариантом работы:
2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = при x = n, где значения r, m, n определяются в соответствии с вариантом работы:
3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точке М(х(t0); y(t0)), где x(t), y(t) и t0 определяются в соответствии с вариантом работы:
4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:
Справочный материал к 8-й лабораторной работе 1. Производная функцииу = у(х) по переменной х в точке х0 – конечный двусторонний предел отношения изменения значения функции у = у(х) к соответствующему бесконечно малому изменению значения аргумента х этой функции в окрестности точки х = х0: у¢ (х0) = = = = . Значение производной у¢ (х0) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции у = у(х) при х = х0 относительно положительного направления координатной оси х. Если s(t) – зависимость перемещения материальной точки от времени, то s¢ (t) = = v(t) – мгновенная скорость этой материальной точки в момент времени t. 2. Дифференцируемость функцииу = у(х): если в каждой точке х интервала (а; b) существует производная у¢(х), то функция у = у(х) называется дифференцируемой на этом интервале. 3. Правила дифференцирования – производная алгебраической суммы: (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ; (u ± v ± w)¢ = u¢ ± v¢ ± w¢ ; производная произведения: (u×v)¢ = u¢×v + u×v¢; (u×v×w)¢ = u¢×v×w + u×v¢×w + u×v×w¢ ; производная дроби: (u/ v)¢ = (u¢×v – u×v¢ )/ v2. 4. Производная параметрически заданной функцииx = x(t), y = y(t): y¢ (x) = y¢ (t) / x¢ (t). 5. Производная сложной функции: если y = u(v(w(x))), то = . Последовательность дифференцирования сложной функции обратна последовательности вычисления значения функции, в частности, на калькуляторе. Например, при вычислении значения функции у = sin2(ln(x3+ )) в точке х алгебраические операции выполняются в следующей последовательности: куб х, квадратный корень из х, сумма куба и квадратного корня, логарифм суммы, синус логарифма, квадрат синуса, следовательно, нахождение производной у¢ (х) сводится к произведению производных, определяемых в последовательности: производная квадрата синуса, производная синуса логарифма, производная логарифма суммы, производная суммы, равная сумме производных куба х и квадратного корня из х, т.е. каждая следующая дифференцируемая функция является аргументом предыдущей. 6. Таблица производных основных элементарных функций
7. Уравнение касательнойк кривой у = у(х)в точке М(х0; у0), где y0 = y(x0): y = y0 + у'(х0)×(x – x0). 8. Уравнение нормали к кривой у= у(х)в точке М(х0; у0): y = y0 – ×(x – x0). 9. Правило Лопиталя: = , где а – любое конечное число или ∞. Правило Лопиталя можно использовать только для неопределенностей вида и . Правило Лопиталя можно использовать многократно, если при его использовании снова возникает одна из указанных неопределенностей.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (479)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |