Лабораторная работа № 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2016-09-16

507

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Теоретический минимум

1. Определение производной функции в точке.

2. Геометрический смысл производной.

3. Механический смысл производной.

4. Правила дифференцирования: производная алгебраической суммы, произведения и частного.

5. Производная параметрически заданной функции.

6. Производная сложной функции.

7. Производные основных элементарных функций.

8. Уравнение касательной к графику функции.

9. Уравнение нормали к графику функции.

10. Правило Лопиталя.

Задания

1. Вычислить производную функции , где функции j_i(x) и y_j(x) находятся из таблиц:

i
j_i(x)	sinx	cosx	tgx	ctgx	arcsinx	arccosx	arctgx	arcctgx

j
y_j(x)	аx^k	a^x	log_ax	аlnx

а значения параметров а, k, m, n и индексов i и j определяются в соответствии с вариантом работы:

№

2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y (x) = при x = n, где значения r, m, n определяются в соответствии с вариантом работы:

№	r	m	n	№	r	m	n	№	r	m	n
			– 3								– 1
			– 2
			– 1			– 3	– 3
						– 4	– 2			– 5
		– 5					– 1			– 6	– 3
		– 6				– 5				– 7	– 2
		– 7	– 3			– 6				– 9	– 1
		– 9	– 2			– 7
			– 1			– 9	– 3
							– 2			– 4

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y(x), заданной параметрически: в точке М(х(t₀); y(t₀)), где x(t), y(t) и t₀ определяются в соответствии с вариантом работы:

№	x(t)	y(t)	t₀
	4×sin3t	4×cos3t	p/3
	×cost	sint	p/3
	5×(t – sint)	5×(1– cost)	p/3
	2t – t²	3t – t³
	cost + sint	sin2t	p/4
	arcsin	arccos	– 1
	t×(t×cost – 2×sint)	t×(t×sint + 2×cost)	p/4

	1 + 2×lnctgt	tgt + ctgt	p/4

	3t×cost	3t×sint	p/2
	sin²t	cos²t	p/6
	arccos	arcsin


	6×sin⁴t	6×cos⁴t	p/6
	3(t×sint + cos t)	3(sint – t×cos t)	p/4
			– 1
	1 – t²	1 – t³
	ln(1 + t²)	t – arctgt
	t – t×sint	t×cost

	3×cost	4×sint	p/4
	t – t⁴	t²– t³
	t³ + 1	t²+ t + 1
	2cost	sint	p/3
	2tgt	2sin²t + 2sin2t	p/4
	t³ + 1	t²	– 2
	sint	e^t
	sint	cos2t	p/6

4. Применяя правило Лопиталя, найти , если:

№	j(x)	y(x)	a
	x – arctgx	x³
	p – 2arctgx	ln
	x – sinx	x – tgx
	p – 2arctgx	ln
	p – 2arcsinx	sin 3(x – 1)
	e^x – e^–x	sinx×cosx
	1 – sin(px/2)	lnx
	sin(px/2)	ln(1 – x)
	xlnx – x + 1	(x – 1)×lnx
	a² – x²	ctg	a
	– 1	cosx – 1
	ln(sin2x)	ln(sinx)
	x×cosx – x×sinx	x×sinx
	– 1
	a^x – b^x
	1 – cos2x	cos7x – cos3x
	lnx	1 + 2ln(sinx)	+0
	e^3x– 3x – 1	sin²5x
	cosx × ln(x – 3)	ln (e^x – e³)	3 + 0
	tg(px/2)	ln(1 – x)	1 – 0
	e^x – e^–x – 2x	x – sinx
	e^2x– 1	arcsinx
	e^x – 1 – x	x×(e^x – 1)
	(x – 2p)²	tg(cosx – 1)	2p
	cosx		p/2
	1– sinx	(p/2 – x)²	p/2
	tgx – x	sinx – x
	1 –	sinx
	lnx	x^a	¥
	ln(1 + x²)	ln(p/2 – arctgx)	¥

Справочный материал

к 8-й лабораторной работе

1. Производная функцииу = у(х) по переменной х в точке х₀ – конечный двусторонний предел отношения изменения значения функции у = у(х) к соответствующему бесконечно малому изменению значения аргумента х этой функции в окрестности точки х = х₀: у¢(х₀) = = = = . Значение производной у¢(х₀) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции у = у(х) при х = х₀ относительно положительного направления координатной оси х. Если s(t) – зависимость перемещения материальной точки от времени, то s¢(t) = = v(t) – мгновенная скорость этой материальной точки в момент времени t.

2. Дифференцируемость функцииу = у(х): если в каждой точке х интервала (а; b) существует производная у¢(х), то функция у = у(х) называется дифференцируемой на этом интервале.

3. Правила дифференцирования – производная алгебраической суммы: (u±v)¢ =u¢ ±v¢; (u ± v ± w)¢ = u¢ ± v¢ ± w¢; производная произведения: (u×v)¢ = u¢×v + u×v¢; (u×v×w)¢ = u¢×v×w + u×v¢×w + u×v×w¢; производная дроби: (u/ v)¢ = (u¢×v – u×v¢ )/ v².

4. Производная параметрически заданной функцииx = x(t), y = y(t): y¢ (x) = y¢ (t)/x¢ (t).

5. Производная сложной функции: если y = u(v(w(x))), то = . Последовательность дифференцирования сложной функции обратна последовательности вычисления значения функции, в частности, на калькуляторе. Например, при вычислении значения функции у = sin²(ln(x³+ )) в точке х алгебраические операции выполняются в следующей последовательности: куб х, квадратный корень из х, сумма куба и квадратного корня, логарифм суммы, синус логарифма, квадрат синуса, следовательно, нахождение производной у¢(х) сводится к произведению производных, определяемых в последовательности: производная квадрата синуса, производная синуса логарифма, производная логарифма суммы, производная суммы, равная сумме производных куба х и квадратного корня из х, т.е. каждая следующая дифференцируемая функция является аргументом предыдущей.

6. Таблица производных основных элементарных функций

Вид функции Формула функции Производная функции

1) Постоянная y = C для всех х Î С¢ = 0

2) Линейная y = х, хÎ y = ах ± b, хÎ х¢ =1R (ах ± b)¢ = а

3) Степенная y = х^а, х > 0, а Î y = х ^{– а}, х > 0, а Î y= 1/х, х ¹0 , х > 0 , х > 0, n Î \{1} (х^а)¢ = ах^{а –}¹R (х^{– а})¢ = –ах ^{– а –}¹ (1/х)¢ = –1/x² ( )¢ = 1/( ) ( )¢ = 1/( )

4) Показательная y = а^х, а > 0, а ¹1, х Î y =е^х, х Î y =е^{– х}, х Î (а^х)¢ = а^х×ln аR (е^х)¢ =е^х (е^{– х})¢ = – е^{– х}

5) Показательно-степенная y = u(х)^v^(х) (u^v)¢=(v×u^v–¹)×u¢+(u^v×ln u)×v¢

6) Логарифмическая y =log _ах, а > 0, а ¹1, х > 0 y =lnх, х > 0 (log _ах)¢ = 1/(x×ln a) (lnх)¢ =1/х

7) Тригонометрическая y =sin x х Î y =cos x х Î y = tg x х Î y = ctg x х Î (sin x)¢ = cos x (cos x)¢ = – sin x (tg x)¢ = 1/cos²x (ctg x)¢ = – 1/sin² x

8) Обратная тригонометрическая y =arc sin x –1 £ х £ 1 y = arc cos x –1 £ х £ 1 y = arc tg x х Î y = arc ctg x х Î (arc sin x)¢ = 1/ (arc cos x)¢ = – 1/ (arc tg x)¢ = 1/(1 + x²) (arc ctg x)¢ = – 1/(1 + x²)

9) Гиперболическая y =sh x х Î y =ch x х Î y = th x х Î y = cth x х¹0 (sh x)¢ = ch x (ch x)¢ = sh x (th x)¢ = 1/ch²x (cth x)¢ = – 1/sh² x

7. Уравнение касательнойк кривой у = у(х)в точке М(х₀; у₀), где y₀ = y(x₀): y = y₀ + у'(х₀)×(x – x₀).

8. Уравнение нормали к кривой у= у(х)в точке М(х₀; у₀): y = y₀ – ×(x – x₀).

9. Правило Лопиталя: = , где а – любое конечное число или ∞. Правило Лопиталя можно использовать только для неопределенностей вида и . Правило Лопиталя можно использовать многократно, если при его использовании снова возникает одна из указанных неопределенностей.