Лабораторная работа № 5. Прямая и плоскость

1. Уравнения прямой на плоскости:

Ø общее уравнение прямойl: Ax + By + C = 0, где A, B, С – числа, A² + B² ¹ 0; нормальный вектор прямой N = {A; B} ^ l; направляющий вектор прямой а= {B; – A} || l; N ^ l;

Ø уравнение прямой, проходящей через точкуМ(x₀;y₀)перпендикулярно вектору N = {A; B}: A(x – х₀) + B(y – y₀)= 0;

Ø уравнение прямой, проходящей через точкуМ(x₀;y₀) с заданным направляющим вектором a = {a_x; a_y}(каноническое уравнение прямой): ;

Ø уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂) при x₁ ¹ x₂ и y₁ ¹ y₂:

или = 0

(при x₁ = x₂ и y₁ ¹ y₂ уравнение прямой имеет вид x = x₁, а при y₁ = y₂ и x₁ ¹ x₂ – вид y = y₁);

Ø уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg j , где j – угол между прямой и положительным направлением оси х, отсчитываемый от этой оси против часовой стрелки: y = k×x + b, число b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;

Ø уравнение прямой с угловым коэффициентомk, проходящей через точку М(x₀; y₀):

y – y₀= k×(x – x₀);

Ø уравнение прямой в отрезках, не проходящей через начало координат: , где а – абсцисса точки пересечения прямой с координатной осью х, b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;

Ø нормальное уравнение прямой:х×cos a + y×sin a – p = 0,

где p – расстояние от начала координат до прямой, a – угол

между осью Ох и перпендикуляром к прямой из начала коор-

динат (длиной р ³ 0); чтобы составить нормальное уравнение

прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, доста-

точно разделить данное уравнение на , причем верх-

ний знак берется, когда С > 0, а нижний – когда С < 0; если же

С = 0, то выбор знака не имеет значения;

Ø полярное уравнение прямой: r(j)= р/cos(j – a), где р ¹ 0;

Ø параметрические уравнения прямой с направляющим вектором a = {a_x; a_y}, проходящей через точку М(x₀; y₀):

2. Расстояние от точкиР(x₀; y₀)до прямойAx + By + C = 0(т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки Р(x₀; y₀) на прямую): .

3.Косинус острого угла a между прямымиA₁x + B₁y + C₁= 0иA₂x + B₂y + C₂= 0на плоскости (угол между векторами N₁ = {A₁; B₁} и N₂ = {A₂; B₂}): .

4. Уравнения плоскости:

Ø общее уравнение плоскости:Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, С, D –числа, A² + B² + С² ¹ 0; нормальный вектор плоскости N = {A; B; С} ^ плоскости;

Ø уравнение плоскости, проходящей через точку М(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно вектору N = {A; B; С}: A×(x – х₀) + B×(y – y₀) + С×(z – z₀) = 0;

Ø уравнение плоскости в отрезках – уравнение плоскости, не проходящей через начало координат: , где а – абсцисса точки пересечения плоскости с координатной осью х, b – ордината точки пересечения плоскости с координатной осью y, с – аппликататочки пересечения плоскости с координатной осью z;

Ø уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(x₁; y₁; z₁), М₂(x₂; y₂; z₂) и М₃(x₃; y₃; z₃), не лежащих на одной прямой: = 0;

Ø нормальное уравнение плоскости:x×cos a + y×cos b+ z×cos g – p = 0, где cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы нормального вектора плоскости N = {A; B; С}, исходящего из начала координат, т.е. косинусы углов между указанным вектором N и положительными направлениями координатных осей x, y, z соответственно; чтобы найти нормальное уравнение плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, достаточно разделить данное уравнение на , причем верхний знак берется, когда D > 0, а нижний – когда D < 0; если же D = 0, то выбор знака не имеет значения.

5. Расстояние от точкиР(x₀; y₀; z₀)до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: .

6. Косинус острого угла j между плоскостямиA₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0:

,

где N₁ = {A₁; B₁; С₁} и N₂ = {A₂; B₂; С₂} – нормальные векторы 1-й и 2-й плоскости, соответственно.

7. Уравнения прямой в пространстве:

Ø общие уравнения прямой в пространстве (уравнения прямой как линии пересечения двух непараллельных плоскостей) A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂= 0:

направляющий вектор этой прямой а = N₁´N₂ = , а точка на прямой определяется решением системы при фиксированном значении одной из переменных, например, при z₀ = 0 значения x₀, y₀ являются решением системы

Ø канонические уравнения прямой – уравнения прямой, проходящей через точку М(x₀; y₀; z₀), с заданным направляющим вектором a = {a_x; a_y; a_z}: ;

Ø уравнения прямой, проходящей через две точки М₁(x₁; y₁; z₁), М₂(x₂; y₂; z₂): ;

Ø параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(x₀; y₀; z₀), с заданным направляющим вектором a = {a_x; a_y; a_z}: х = х₀ +t·a_x; y = y₀ +t·a_y; z = z₀ + t·a_z.

8. Угол между прямой и плоскостью – острый угол qмежду прямой и ее проекцией на плоскость; если прямая задана каноническими уравнениями , а плоскость – общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то sin q = , где N = {A; B; С} – нормальный вектор плоскости, a = {a_x; a_y; a_z} – направляющий вектор прямой.

9. Угол между двумя прямыми в пространстве: если известны направляющие векторы a₁ и a₂ двух прямых в пространстве соответственно, то косинус острого угла a между этими прямыми:

cos a= .