Математическое описание измерительных сигналов

В метрологии измерительные сигналы описыва­ются математическими моделями вида Y = f (X, А, В, С,...), где Y — основной информативный параметр сигнала; X — независимый аргумент сигнала; А, В, С — параметры сигнала. В зависимости от рода независи­мого аргумента сигналы описываются временными (X=t) и частотными (X=w) математическими моде­лями. Вид модели выбирается в зависимости от кон­кретных условий решаемой задачи.

Во временной области применяют известные ма­тематические функции f (t, А, В, С,...), наиболее точ­но описывающие изменение сигнала, в которых один из параметров А, В, С и т.д. зависит от измеряемой величины. Временная форма представления сигнала по­зволяет легко определить такие важные характеристики, как энергия, мощность и длительность сигнала.

Наряду с временным описанием сигналов широко используется их спектральное (частотное) представ­ление. В процессе передачи и обработки сигналов оно играет особую роль, поскольку определяет параметры используемой аппаратуры. Частотное представление основывается на преобразовании Фурье сигнала Y (t):

(3.11)

Здесь и —действительная и мнимая части спектральной функции:

, (3.12)

Модуль и аргумент спектральной функции опреде­ляются соответственно по формулам:

(3.13)

Как видно спектральная функция S(w) является комплекс­ной величиной, содержащей информацию о спектре, амплитуде, и фазе, поэтому часто ее называют ком­плексным спектром. Модуль функции S(ω) является спектром амплитуд, но он выражает не непосредст­венно амплитуду, а ее спектральную плотность.

Спектральное представление сигнала позволяет оценить его частотный диапазон, т. е. граничные час­тоты, между которыми заключены все или основные, имеющие наибольшие амплитуды гармонические со­ставляющие сигнала. Частотный диапазон является важной информационной характеристикой сигнала, определяющей не­обходимую полосу пропускания средства измерения для передачи сигналов с требуемой точностью.

Указанное преобразование Y(t) – S(w) позволяет получить сплошной спектр сигнала, что не всегда возможно и необходимо. Из математики известно, что функцию, изменяющуюся во времени и удовлетворяющую условиям Дирихле можно аппроксимировать суммой членов. Эта сумма с достаточной степенью приближения будет описывать реальный сигнал. Возможность такого представления будет показана ниже.

(3.14)

где — постоянная составляющая; — амплиту­да и фаза n-й гармоники. Множество значений образуют соответственно амплитудный и фазо­вый спектры, которые характеризуют свойства сигна­ла Y(t) в частотной области. Такой спектр называют линейчатым, или дискретным. Различные формы пред­ставления спектра периодического сигнала могут быть также найдены с помощью выражений (3.11)

При постепенном увеличении периода сигнала (в пределе до бесконечности) разности соседних частотных составляющих спектра становятся ничтожно малыми и дискретный спектр превращается в непрерывный.

Теория гармонического анализа изложена в специальной литературе, но некоторые базовые положения приведены ниже.