Определение периодических несинусоидальных токов и напряжений
Периодическими несинусоидальными токами и напряженияминазывают токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Они возникают при четырех различных режимах работы электрических цепей (и при сочетаниях этих режимов): 1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные - линейны, т. е. от тока не зависят; 2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны; 3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальнуюЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов; 4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени. В данной главе рассматриваются методика расчета и особенности работы линейных электрических цепей при воздействии на них несинусоидальных ЭДС и токов - первый из перечисленных режимов работы. Изображение несинусоидальных токов и напряжений с Из курса математики известно, что любую периодическую функцию с периодом 2π, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. Функциональный ряд вида: (4.1) называется тригонометрическим рядом, а постоянные (n = 1, 2,…) называются коэффициентами тринонометрического ряда (4.1). Частичные суммы тригонометрического ряда (4.1) являются линейными комбинациями функций из системы функций которая называется тригонометрической сиситемой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом 2π, то в случае сходимости ряда (1) его сумма будет периодической функцией с периодом : (-∞ +∞). Определение.Разложить периодическую функцию с периодом =2π в тригонометрический ряд (4.1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции . Ортогональность тригонометрической системы Определение.Функции и , непрерывные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие (4.2) Например, функции f(x) = x и g(x) = ортогональны на отрезке [-1, 1], так как Нами было введено определение. Конечная или бесконечная система функций где ≠ 0 (n = 1, 2,…), интегрируемых на отрезке [a, b], если для любых номеров m и n таких, что m ≠ n, выполняется равенство
Теорема 1. Тригонометрическая система 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx,… ортогональна на отрезке [-π,π]. При любом целом n ≠ 0 имеем = 0, (4.3) Наконец, в силу формулы для любых целых m и n получаем При m = n имеем (4.7) Тригонометрический ряд Фурье Поставим себе задачей вычислить коэффициенты (n = 1, 2,…) тригонометрического ряда (1), зная функцию f(x). Теорема 2.Пусть равенство имеет место для всех значений для всех значений х, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке [- ]. Тогда справедливы формулы (n=0, 1, 2, …), (4.8) (n=0, 1, 2, …) (4.9) Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции . Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать. Имеем (4.10) или откуда и следует первая из формул (4.10) для n=0. Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию cos mx, где m – произвольное натуральное число: (3) Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно, Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при n=m, равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому (4.11) откуда m=1, 2, … (4.12) Аналогично, умножая обе части равенства (1) на sin mx и интегрируя от - до , получим откуда m=1, 2, … (4.13) Пусть дана произвольная периодическая функция периода 2 , интегрируемая на отрезке [- ]. Можно ли ее представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные и . Определение.Тригонометрический ряд коэффициенты которого определяются через функцию по формулам n=0, 1, 2, …, (4.14) n=1, 2, …, (4.15) называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции . Каждой интегрируемой на отрезке [- ] функции можно поставить в соответствие ее ряд Фурье т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции f (x) не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства. Замечание. Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию f (x), определенную только на отрезке и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (4.10) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку , то для такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию f (x) периодически на всю ось Ox, то получим функция F(x), периодическую с периодом 2 , совпадающую с f (x) на интервале
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (769)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |