Математические модели элементарных измерительных сигналов
К элементарным измерительным сигналам относятся постоянный во времени сигнал и сигналы, описываемые единичной и синусоидальной функциями, а также дельта-функцией. Постоянный сигнал — самый простой из элементарных сигналов, описываемый математической моделью вида , где — единственный параметр сигнала. Графики временной и частотной моделей постоянного сигнала приведены на рис. 3.3. Единичная функция, называемая иногда функцией Хевисайда, описывается уравнением
(3.15)
Она имеет один параметр — момент времени . Ее временная и частотная модели представлены на рис. 3.4, а.
при одновременном условии
площадь импульса
Функция называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта функцией (а также функцией Дирака). Применительно к исходным, изображенным на рис. 3.2. б, в, дельта – функция должна быть определена выражениями (3.17) (3.18) Возможны и другие многочисленные определения . При сдвиге импульса по оси на величину , определения должны быть записаны в более общей форме:
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
Функция обладает важными свойствам, благодаря которым она получила широкое распространение в математике, физике и технике. Из определений вытекает основное соотношение
(3.23)
Так как по определению функция равна нулю на всей оси , кроме точки (где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования может быть сделан сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку . В этом промежутке функция принимает постоянное значение , которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции на позволяет приравнять интеграл произведения значению в точке . В математике соотношение называется фильтрующим свойством дельта – функции. В теории сигналов приходится иметь дело с дельта – функциями от аргументов или , в зависимости от того в какой области рассматривается функция – во временной или частотной. Рассмотрим сначала свойства функции . В этом случае основное значение имеет спектральная характеристика дельта – функции. При сокращении длительности прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а величина быстро уменьшается. В данном же случае, когда сокращение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, величина спектральной плотности остается неизменной и равной величине для всех частот . То же само имеет место при укорочении любого из дельтообразных импульсов. Следовательно, спектральная плотность дельта – функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что фазовая характеристика дельта – функции равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют пик бесконечно большой величины в момент времени . Аналогично функция , определяющая единичный импульс в момент х0, обладает спектральной плотностью . Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а фазовая характеристика . Найденная ранее величина спектральной плотности дельта – функции может быть получена и формально, с помощью преобразования Фурье
(3.24)
Применяя свойство, получаем
(3.25)
В частном случае , . Можно, очевидно, и представить в виде обратного преобразования Фурье от : . (3.26)
Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля. Гармонический сигнал описывается уравнением
(1.5)
Параметрами такого сигнала являются: амплитуда Ym, период Т (или частота f= 1/T, или круговая частота w) и начальная фаза φ. График временной модели общеизвестен, а график частотной модели такого сигнала показан на рис. 3.5.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (746)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |