Тема 2.7. Выявление различий в распределениях признака

План

1. Обоснование задачи сравнения распределений признака.

2. Критерий Пирсона.

3. Критерий λ Колмогорова-Смирнова.

4. Критерий Макнамары (для самостоятельного изучения)

1. Методы, о которых пойдет речь в этой теме, касаются проверки одного из самого широкого класса гипотез – в отношении тех явлений, измерения которых доступны в номинативной шкале.

Например, кто чаще обращается в службу знакомств: женщины или мужчины (один признак и две градации – муж и жен); зависит ли количество аварий на производстве от дня недели (один признак и пять градаций – с понедельника по пятницу) и т.д. Подсчитав количество женщин и количество мужчин и воспользовавшись методом статистической проверки, можно сравнить полученное эмпирическое соотношение с ожидаемым равномерным распределением (теоретическим). Аналогично, и в задаче про аварии.

Кроме этого, можно сравнивать эмпирические распределения между собой. Например, зависит ли предпочтение напитка (мин.вода, сок) от времени года (лето, осень, зима, весна). Первый номинативный признак – напиток и 2 градации, второй - сезон опроса и 4 градации. Или, зависит ли предпочтений одного из пяти кандидатов на выборах от пола избирателя?

Т.е. ставится задача сравнения распределений эмпирического с теоретическим или эмпирического с эмпирическим.

Распределения могут различаться по средним, дисперсиям, асимметриям, эксцессу и т.д.

Например, распределение времени решения простой задачи (график 1) и сложной (график 2):

Рис.1

Распределения различаются знаком асимметрии: на 1^м – положительная (левосторонняя), на 2^м – отрицательная (правосторонняя). Простая задача большинством решатся быстро, но ее простота может привести к тому, что некоторая часть испытуемых будет решать ее дольше, чем сложную. Если докажем, что распределения статистически достоверно различаются, то это может стать основой как для классификации задач, так и типологии испытуемых (со стандартным мышлением – простую задачу быстро, сложную - долго, и с нестандартным – наоборот).

Различия распределений по эксцессу:

Здесь 1-е распределение характеризуется меньшим диапазоном вариативности и меньшей дисперсией, чем 2-е распределение. В первом чаще встречаются значения признака, близкие к средней, а во втором чаще встречаются более высокие и более низкие, чем средняя.

Критерии сравнения распределений называют критериями согласия, самыми распространенными являются критерий Пирсона и критерий λ Колмогорова-Смирнова. Хотя эти критерии сложны в вычислениях и применяются при выборках с n≥30, но они незаменимы в следующих случаях:

1) в задачах, требующих доказательства неслучайных предпочтений в выборе из нескольких альтернатив,

2) в задачах, требующих обнаружения точки максимального расхождения между двумя распределениями.

2. Критерий Пирсона предназначен

· для сопоставления эмпирического распределения с теоретическим,

· для сопоставления 2^х, 3^х и более эмпирических распределений одного и того же признака.

Есть и другие назначения, но эти встречаются чаще всего.

Этот метод позволяет сопоставить распределения признака, представленных в любой шкале.

Пример. Пусть из 70 пешеходов фиксируется количество, выбравших правую или левую дорожку из двух одинаковых симметричных дорожек. Установлено, что 51 человек выбрали правую, а 19 человек левую дорожку.

Можно проверить отличается ли данное распределение выборов от равномерного, т.е. сравнивается эмпирическое распределение с теоретическим.

Графически этот пример в виде гистограммы:

Видим, что отклонение эмпирических частот от 0,5 (равномерного) довольно значительно, т.е. критерий должен подтвердить различия.

Но если в другом исследовании определить, у кого какая нога опорная, то можно сопоставить эти два эмпирических распределения. Установлено, что из этих 70 человек 56 имеют правую опорную ногу, а 14 – левую.

Тогда эти два распределения в виде гистограммы:

Видим, что расхождения между ними незначительные, т.е. скорее всего будет подтверждено совпадение распределений.

В результате этих исследований был сделан вывод, что у людей с опорной правой ногой склонность идти против часовой стрелки, а с левой - по часовой. (Данные психологические исследования могут быть связаны с архитектурным проектированием)

Гипотезы: Н_о – эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (эмпирического) распределения.

Н₁ - эмпирическое распределение признака отличается от теоретического (эмпирического) распределения.