II. Описание критерия U- Манна-Уитни

Существует несколько способов использования данного метода. Рассмотрим метод, который определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами значений. В отличии от критерия Q этот метод используют, когда ряды «налагаются» частично друг на друга.

Графически данный критерий можно представить следующим образом:

а) б) в)

Рис.2.

На рисунке представлены три из множества возможных вариантов соотношения двух рядов значений. В случае а) область перекрещивания слишком мала, т.е. вероятнее всего различия достоверны. В случае б) область наложения обширна, существуют ли различия, определяется с помощью критерия U. В последнем случае различия скрадываются. Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение U_эмп отражает то, насколько велика зона совпадения значений, поэтому, чем меньше U_эмп, тем более достоверны различия.

При применении критерия кроме упорядочивания значений признака, необходимо их проранжировать, одновременно оба ряда. Подсчитать сумму рангов отдельно для каждой выборки, сравнить совпадает ли общая сумма рангов с расчетной. И рассчитать U_эмп

U_эмп= n₁ n₂ + - R_x,

где R_x – большая из двух ранговых сумм, а n_х – объем выборки с большей ранговой суммой.

U_кр находим по таблице критических значений в зависимости от n₁ и n₂.

Далее с помощью оси значимости определяем, какую гипотезу принять, а какую отвергнуть. Но так как, чем меньше U_эмп, тем более достоверны различия, зоны на оси значимости поменяются местами. Это критерий – исключение.

зона значимости зона неопределенности зона незначимости

Н₁ р≤0,01 р≤0,05 Н₀

U_крит U_крит

Ограничения критерия:

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений; допускается в одной 2 наблюдения, но тогда во второй не менее 5.

2. В каждой выборке n₁,n₂≤60 (из-за сложности ранжирования большого количества данных).

Пример. Две группы испытуемых решали задачу. Показателем успешности служило время решения. Одна из групп получала дополнительную мотивацию в виде денежного вознаграждения. Вопрос: влияет ли денежное вознаграждение на успешность решения задачи?

группа без доп. мотвац.															суммы
	111,5
ранги R1	4,5	6,5		11,5		15,5
группа с доп мотвац.																106,4
ранги R2				4,5	6,5		11,5	11,5	11,5	15,5	20,5	20,5	22,5	22,5

Из таблицы видно, что время решения задачи у испытуемых с денежной мотивацией меньше, чем в другой группе. Именно на эту выборку приходится меньшая ранговая сумма. Значит, можно сформулировать гипотезы:

H₀ : решение задачи в группе с дополнительной мотивации не успешнее, чем в группе без мотивации.

H₁: решение задачи в группе с дополнительной мотивацией успешнее, чем в группе без мотивации.

n₁=12, n₂=14, N=26.

1. Применим критерий Q Розенбаума.

n₁ ,n₂ >11. / n₁ - n₂ /<10.

S₁=3, S₂=3. Q_эмп=3+3=6.

По таблице критических значений по n₁=12, n₂=14 находим

7 (р≤0,05)

Q_кр=

9 (р≤0,01)

Н_о р≤0,05 р≤0,01 Н₁

6 7 9

По оси значимости делаем вывод, что принимается гипотеза H₀ -решение задачи в группе с дополнительной мотивации не успешнее, чем в группе без мотивации.

2. Применим критерий U.

Проранжируем два ряда значений.

Общая сумма рангов 189+162=351.

Расчетная сумма Σ R = N(N+1)/2=26(26+1)/2=351.

Тогда

U_эмп=12 14+ - 189=57.

По таблице критических значений по n₁=12, n₂=14 находим

51 (р≤0,05)

U_кр=

38(р≤0,01)

По оси значимости делаем аналогичный вывод, как и в первом случае, что принимается гипотеза H₀ - решение задачи в группе с дополнительной мотивации не успешнее, чем в группе без мотивации.

Н₁ р≤0,01 р≤0,05 Н₀

38 51 57

3. Критерии Н и S предназначены для оценки различий между тремя, четырьмя и т.д. выборками по уровню какого-либо признака.

Но если метод Крускала-Уоллиса позволяет установить, что уровень признака изменяется при переходе от группы к группе, но не указывает направление этих изменений, то метод Джонкира выявляет тенденцию изменения признака, что позволяет упорядочить выборки по изучаемому признаку.

Данные выборок для этих критериев должны быть: 1) представлены в порядковой, интервальной или шкале отношений 2) упорядочены по возрастанию.

Гипотезы: H₀ – между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.

H₁ – между выборками 1, 2, 3, и т.д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

В случае S-критерия Джонкира гипотезы могут формулироваться и другим образом:

H₀ – тенденция возрастания признака при переходе от выборки к выборке является случайной.

H₁ – тенденция возрастания признака при переходе от выборки к выборке не является случайной.