Экономико-математические приемы анализа

В реальных условиях хозяйствования на предприятие оказывают влияние множество факторов (рис. 3.2). Часто невозможно определить прямую связь между изменением результативного показателя и всеми факторами, как это представлено в детерминированном анализе. Многие из них оказывают косвенное воздействие на протекающие экономические процессы, поэтому для их оценки целесообразно использовать приемы стохастического (вероятностного) анализа.

X1 X2 X3 … Xn

 

Z1 Z2 …. Zn

C1 C2 …. Cn

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.2. Модель хозяйственной системы

C_1, …, Сn – входные факторы (параметры системы), не изменяющиеся в процессе принятия управленческого решения. Например, производственные площади, оборудование, количество рабочих дней в году.

х_1, …, х_n – регулируемые факторы, например, величина ресурсов, увеличение сменности работы и др.

z_1, …, z_n – количественные и качественные характеристики результатов функционирования системы. Например, себестоимость, объем продукции и услуг. Это есть переменные величины, т.е. функции от показателей С и Х.

W_1, …, W_n – неконтролируемые (случайные) факторы. Их появление и количественная оценка заранее неизвестны: аварии, стихийные бедствия, разрыв хозяйственных связей и др.

Дисперсионный анализ используется для оценки влияния факторов, зависящих от деятельности анализируемого предприятия: анализ прибыли, рентабельности, производительности труда, использования основных производственных фондов, анализ использования новой техники, технологии и т.д.

Посредством этого метода анализируются результаты наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов и дается оценка величины их влияния. Результаты могут изменяться за счет влияния набора случайных факторов, имеющих случайные величины. Задача дисперсионного анализа – оценить соотношение между факторами для определения существенности или несущественности различий условий наблюдения.

На практике дисперсию часто используют для объективного отражения вариации какого-либо множества факторов по формуле средних квадратов отклонений показателей:

;

При сравнении дисперсии от показателей нескольких изучаемых объектов, наибольшая ее величина указывает на нестабильность (большую колеблемость) данных относительно среднего значения.

Корреляционный анализ – наиболее распространенный прием стохастического моделирования хозяйственного процесса, используется в случаях, когда взаимосвязь между показателями не является строго функциональной и искажена влиянием посторонних, случайных факторов. Основное назначение корреляции – нахождение и оценка взаимосвязи исследуемого показателя и факторов, определяющих их уровень.

Корреляционная связь может быть прямой, если с ростом (снижением) значений факторных показателей происходит рост (снижение) результативного показателя, и обратной, если рост факторного показателя вызывает снижение результативного и наоборот. Различают две формы связи: прямолинейная(уравнение прямой линии) и криволинейная (уравнение параболы, гиперболы и др.).

Для измерения связи между двумя переменными используется формула определения коэффициента парной корреляции:

; где х – значение факторного показателя; у - значение результативного показателя; - произведение дисперсий факторного и результативного показателей.

При небольшом количестве данных (до 30) удобнее использовать формулу:

, где n - число данных в выборке.

Величина коэффициента парной корреляции находится в пределах от . Положительное значение r характеризует прямую связь между результативным признаком и факторным, отрицательное значение показывает обратную связь. Близость значения r к свидетельствует о тесноте связи между признаками. При связь отсутствует, если же , то связь между показателями является детерминированной.

В практических расчетах могут встречаться ситуации, когда переменные могут быть измерены не достаточно достоверно или точно. В этом случае целесообразно использовать формулу коэффициента ранговой корреляции:

; где d – разница между парами рангов.

Альтернативным показателем степени зависимости между двумя переменными является коэффициент детерминации, представляющий собой возведенный в квадрат коэффициент корреляции (r²). Он выражается в долях единицы (процентах) и условно отражает величину изменения результативного показателя (у) за счет изменения другой переменной – факторного показателя (х).

В практических расчетах могут встречаться ситуации, когда на результативный показатель действует набор факторов, поэтому целесообразно применять коэффициент множественной корреляции (R):

, или , где - общая дисперсия эмпирического ряда, характеризующая общую вариацию результативного ряда (у) за счет всех факторов; - остаточная дисперсия в ряду у, отражающая влияние всех факторов, кроме х; - среднее значение результативного показателя, вычисленное по исходным наблюдениям; - среднее значение результативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии.

Коэффициент множественной корреляции принимает только положительные значения в пределах от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем больше теснота связи. Значение коэффициента до 0,3 свидетельствует о слабой связи, от 0,3 до 0,6 – средняя связь, больше 0,6 – тесная связь.

Регрессионный анализ – неразрывно связан с корреляционным, дополняет его и позволяет математически моделировать стохастическую связь. Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения. Регрессия может быть однофакторной (парной) и многофакторной (множественной).

По форме зависимости различают:

а) линейную регрессию, которая выражается уравнениями прямой (линейной функцией) вида Y_x = a₀+a₁x;

б) нелинейную регрессию, которая выражается уравнениями вида:

парабола - ;

гипербола - и т. д.

По направлению связи различают:

а) прямую регрессию (положительную), возникающую при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины значения зависимой также соответственно увеличиваются или уменьшаются;

б) обратную (отрицательную) регрессию, появляющуюся при условии, что с увеличением или уменьшением независимой переменной зависимая соответственно уменьшается или увеличивается.

Параметры уравнения a₀, a₁ находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_iот выровненных ŷ:

S(y_i – ŷ)² = S(y_i – a₀ – a₁x_i)² ® min

Для нахождения минимума данной функции приравняют к нулю ее частные производные и получают систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

Определив значения a₀ , a₁ и подставив их в уравнение связи ŷ = a₀ + a₁x, можно найти значения ŷ, зависящие только от заданного значения х.

Аналитические достоинства регрессионных моделей в том, что: во-первых, точно определяется фактор, по которому выявляются резервы повышения результативности хозяйственной деятельно­сти; во-вторых, выявляются объекты с более высоким уровнем эффективности; в-третьих, возникает возможность количествен­но измерить экономический эффект от внедрения передового опыта и проведения организационно-технических мероприятий.

Приемы анализа тенденции изменения и прогнозирования экономических показателей. При анализе некоторых экономических показателей возникает необходимость не только определить их взаимосвязь, но также на основе модели связи предсказать будущее значение показателей при условии сохранения выявленной тенденции (тренда). Тенденция изменения экономических показателей может быть обнаружена при анализе динамического временного ряда показателей, зафиксированных на определенный момент через равные промежутки времени. Например, анализ динамики продаж продовольственных товаров дает представление о тенденции изменений потребления населением различных видов продовольствия.

Наиболее распространенными приемами анализа тенденции являются приемы сглаживания и выравнивания динамического ряда.

Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов.

Изучение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две большие группы:

1) Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.

2) Способы «аналитического» выравнивания, т.е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.

а) Метод усреднения по левой и правой половине.Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

б) Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. Поэтому для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

в) Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью простой скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда; затем - средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода.

Способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально – экономических явлений.

Более точным способом отображения тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т.е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции y(t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения y_t.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т.е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются y_i.

Расчетными (или теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости y_t. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y_t, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию y_t выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

Линейная y_t = a₀ + a₁t;

Параболическая y_t = a₀ + a₁t + a₂t²_;

Экспоненциальная y_t = exp(a₀ + a₁) или y_t = exp(a₀ + a₁t + a₂t²).

Достаточно часто применяется аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида: y_t = a₀ + a₁t, где t – порядковый номер периодов или моментов времени.

Параметры a₀ и a₁ прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

Необходимым условием регулирования рыночных отноше­ний является составление надежных прогнозов развития соци­ально-экономических явлений. Выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязи создают базу для прогнозирования, т. е. для определения ориен­тировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции.

Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пре­делами изучаемого ряда, т. е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом (перспективная экстраполяция). По­скольку в действительности тенденция развития не остается не­изменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки.

Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными способами, например, экстраполируют ряды динамики выравни­ванием по аналитическим формулам. Зная уравнение для теоре­тических уровней и подставляя в него значения t за пределами исследованного ряда, рассчитывают для t вероятностные .

Методы оптимального программирования (линейного, нелинейного, динамического) применяются для определения оптимальных параметров для функционирования различных экономико-математических систем (оптимальное развитие производства, оптимальный структурно-ингредиентный состав смесей и рецептур, оптимизация транспортных затрат и т.д.).

Средствами математического программирования определяется:

- оценка разработанного плана производства в фактически сложившихся условиях хозяйствования;

- экономическая эффективность принятого варианта управленческого решения в сравнении с другими вариантами;

- экономическая эффективность внедрения новой техники, технологии, новых видов материалов;

- внутрихозяйственные потери вследствие принятия неоптимальных управленческих решений;

Линейное программирование представляет систему линейных неравенств, решение которых при заданных ограничениях и коэффициентах позволяют определить линейные функции переменных х₁, х₂, …, х_n так, чтобы достигнуть максимизации (минимизации) целевой функции:

, где P_i – параметры при неизвестных переменных x.

Динамическое программирование – это совокупность приемов для достижения оптимальных результатов в многошаговых процессах, в которых величина затрат обычно изменяется при изменении объема операции.

Теория массового обслуживания используется для анализа количественной стороны процессов и явлений, связанных с массовым обслуживанием. Она применяется при массовых явлениях вероятностного характера, то есть таких процессов, в которых наступление каждого события не строго определено, а может наступить с определенной вероятностью.

Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации связанные с выбором наиважнейших производственных решений, системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других видов деятельности. Можно обыгрывать конфликтные ситуации математически, как игру двух, трех и т.д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого.

Статистическое моделирование – численный метод математического моделирования, который заключается в имитации производственных процессов на ЭВМ путем воспроизведения элементарных явлений и актов процесса в последовательности, отражающей реальные связи и взаимосвязи. Применяется для изучения общей модели финансовых взаимоотношений предприятия с бюджетом, министерством, поставщиками, покупателями. Также можно смоделировать процессы контроля качества продукции, разработки и внедрения автоматизированных систем управления и др.

Приемы финансовой математики применяются для определения наращенных и дисконтированных сумм денег, потоков платежей, ренты, кредитных расчетов, оценки инвестиционных проектов, финансовых расчетов на рынке ценных бумаг, а также включают теорию оптимального портфеля, теоретико-вероятностные методы и финансовые риски.