Оценка криволинейности

Выдвинутая в предыдущем разделе гипотеза о том, что увеличение нервной воз-будимости перед экзаменом всегда улучшает результат студента, очевидно, вызы-вает сомнения. Более разумными кажутся следующие соображения. При низкой возбудимости результаты экзамена должны быть низкими, поскольку излишнее спокойствие снижает потребность студента в подготовке. С увеличением возбуди-мости результат до определенного момента должен улучшаться, однако слишком возбудимые студенты вряд ли способны сконцентрироваться и показать хороший результат. Поэтому наилучших показателей должны добиваться те студенты, чей уровень возбудимости является промежуточным. При регрессионном анализе, вне зависимости от того, является он множественным или простым, соотношение между зависимой и независимой переменными считается линейным. В приведен-ном ранее примере мы видим значительную корреляцию между переменными трев

в тест (R = 0,546, p < 0,001), однако возможная ошибка прогноза велика (только 29,8 % дисперсии переменной тест объясняется влиянием переменной трев). Мож-но предположить, что если изменить вид общего уравнения (например, включить в него квадрат переменной трев), прогнозируемые значения будут ближе к реаль-ным. График на рис. 17.1 может быть получен при обращении Графика Устаревшие диалоговые окна Рассеяния/точки. Он наглядно демонстрирует характер отношений между переменными трев и тест.

По вертикальной оси диаграммы отложены значения переменной тест, по гори-зонтальной — значения переменной трев. Очевидно, что зависимость между пе-ременными не является линейной: у нее имеется выраженный максимум, а при движении к краям диаграммы наблюдается убывание значений переменной тест. Нельзя не отметить, что только путем графической интерпретации невозможно достоверно установить характер отношений между переменными. Необходимым условием является применение статистических критериев.

242 Глава 17.Простая линейная регрессия

Рис. 17.1.Диаграмма рассеивания,демонстрирующая криволинейную зависимость

Для того чтобы статистически оценить криволинейность, в подменю Регрессия предусмотрена команда Подгонка кривых. В ее диалоговом окне необходимо за-дать зависимую переменную (тест), независимую переменную (трев) и установить флажки Линейная и Квадратичная. После щелчка на кнопке OK появятся результа-ты, приведенные ниже (рис. 17.2), а также диаграмма, показанная на рис. 17.3.

Рис. 17.2.Таблица результатов оценки криволинейности

По диаграмме можно оценить, насколько близка к линейной или квадратичной зависимость между значениями переменных. В результаты включены значения коэффициентов B регрессии (Константа b0, b1, b2), поэтому не сложно составить линейное и квадратичное уравнения регрессии для прогнозируемых значений. На диаграмму помимо линейной и квадратичной зависимостей нанесен разброс дан-ных файла. Обратите внимание на сходство диаграмм, представленных на рис. 17.1

и 17.3, а также на то, что константа и коэффициенты уравнений указаны в послед-них трех столбцах выводимых результатов (см. рис. 17.2).

Для линейной регрессии уравнение имеет вид:

тест_{прогноз} = 9,3114 + 0,6751 × трев

и уравнение для квадратичной регрессии выглядит следующим образом: тест_{прогноз} = 0,1615 + 4,4896 × трев – 0,3381 × (трев)²

Рис. 17.3.Диаграмма,демонстрирующая линейную и криволинейную тенденции

Как видно из рис. 17.2, в случае линейной регрессии величина R2 (столбец R ква-драт в таблице выводимых результатов) равна 0,298, то есть 29,8 % дисперсии переменной тест обусловлено воздействием со стороны переменной трев. В то же время для квадратичной регрессии, которая учитывает и линейную, и криволи-нейную связи, R2 = 0,675, то есть она обусловливает 67,5 % дисперсии переменной тест. Малый p-уровень для обоих уравнений свидетельствует об очень высокой статистической достоверности полученных результатов. Очевидно, что квадратич-ная регрессия описывает отношения между переменными тест и трев более адек-ватно, чем линейная.