Практическая работа №1

Вычисление и сравнение корней.

Обучающая часть.

 

Арифметическим корнем натуральной степени n ≥ 2 из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a, т.е.

, если  (а ≥ 0; b ≥ 0).

Свойства арифметического корня n-ой степени

a ≥ 0; b ≥ 0; n  N; m  N; k  N; n ≥ 2; m ≥ 2; k ≥ 2

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

 

 Примеры.

1. Вычислить выражение:

Решение: сначала упростим каждый из имеющихся корней:

, ,       ,

, ,

После этого заданное выражение примет вид:

.

Ответ:

2.Упростить выражение , где a > 0, b > 0.

Решение: используя свойства арифметического корня, получаем

Ответ: ab

3.Сравните числа:

Пояснение:

68>63, значит

 

Самостоятельная работа:

 

1.Вычислить выражение:

6.

 

2.Упростить выражения:

1. , где a > 0, b > 0

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

 

3. Сравните числа:

 

1.  и

2.  и

3.  и

и

 и

 и

 и

 и 7

 и 3¹⁰⁰

 и 2

 

 

Вопросы.

 

1. Какое число называется арифметическим квадратным корнем?

2. Как называется число, стоящее под знаком корня?

3. Как читается выражение ?

4. Как называется действие нахождения квадратного корня из числа?

5. Из любого числа можно извлечь арифметический квадратный корень?

Практическая работа №2

Вычисление и сравнение степеней.

Обучающая часть.

Степенью числа a>0 с рациональным показателем , где m - целое число, а n - натуральное ( n>1), называется число , т.е.

Свойства степени с рациональным показателем.

Рекомендации к теме

 

При упрощении выражений, содержащих корни и степени с дробным показателем, можно переходить только к корням или только к степеням. Вы можете сами выбрать наиболее удобный для Вас путь решения задачи, я Вам рекомендую чаще пользоваться преобразованием выражений с помощью степени с дробным показателем и ее свойств. Свойства степеней имеют более простую форму и уменьшают вероятность совершения ошибки при преобразовании.

При выполнении упражнений на вычисление, упрощение выражений, содержащих степени с рациональным показателем, используют определение и свойства степени.

 

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

• Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.

• Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

 

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

 

Примеры.

1. Вычислить:

Решение:

Ответ: 5.

2. Упростить выражения: .

Ответ: ab.

3. Упростить выражения:

Решение:

Ответ: 2a.

 

4. Сравнить значения выражений:

Решение:

Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

Решение:

Сравниваем показатели степеней:

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется: