Качественная теория решения нелинейных диффе-

ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе-

                    мам)

 

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который

дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де-

лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).

Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф-

ференциальных уравнений, она используется для решения не-

линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа-

зового портрета (некоторый графический материал, по ко-

торому можно анализировать траекторию движения динамичес-

кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из

решений).

 

На примере X и Y :

 y                   (1) , где

                          f(x,y) - некоторая нели-

     a dy                   нейная функция

                           - нелинейная

                                      функция

 

                    x

Найти решение означает - найти y=j(x) (2),

которая удовлетворяет (1).

Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на

плоскости.

 

            Метод изоклин

 

Если f(x,y)=const, то , а , на кривой

f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение,

такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const)

Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по-

ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение,

т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

                                

y               Пример1:   ;                

                                 y 

       - решение диф.                                - изоклина

                                   уравнения

                                                                                                                                           

                                                                                                                                        x        

                                                             x

 

Пример 2:       ,

Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) -

-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

                        

                            

                 

 

                               ­ - изоклина   

    решение              

 

 

- Уравнение Вандер Поля

 

x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе-

  ременная   

 = const - параметр

 

- вторая фазовая переменная

    Учитывая это имеем :

(1) ’        пусть  = 0

 

(1) ’’                  

 

 

                                                                 - изоклина

 

- фазовый портрет

- Решение дифференциаль-

  ного уравнения Вандер

                                                                                                     Поля - окружность

                                    (при  = 0)

 

Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то

получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж-

ность дает решения синусоидального колебания.

x                  Y     

 

 

              t                      t           

 

 

Пусть  ¹ 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти-

пов :

   Y                 X(t)

 

 

                                                    X                                                                                                      

                                                                                                                                                            t                        

 

   

 

Выводы :

    1) Динамические системы радиоавтоматики описыва-

       ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо-

       лее высокого порядка ( например: колебатель-

       ная система(солнечная система, автогенератор,

       полет космического аппарата в поле притяже-

       ния земли) описывается диф. уравнением 2-го

       порядка и выше.

    2) Линейные динамические системы описываются ли-

       нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес-

       кая система составленная из R,L,C - цепочек и

       активных элементов (транзисторов и т.д.).

       Любая линейная система путем преобразования

       Лапласа может быть представлена в виде пере-

       даточной функции.(Диф. уравнение преобразует-

       ся по Лапласу). Передаточная функция записы-

       вается для удобства в комплексном виде, на

       мнимой оси p=jw можно найти АЧХ и ФЧХ линей-

       ной системы. Передаточная функция дает инфор-

       мацию об устойчивости системы.

    3) Нелинейные динамические системы описываются

       нелинейными диф. уравнениями, в этих системах

       обязательно есть нелинейность вида (

       и др.), общих решений и анализа через переда-

       точную функцию как правило не существует, по-

       этому есть два метода :

    а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановле-

       ние по точкам)

    б) решение диф. уравнений методом фазового порт-

       рета (качественная теория). (Это наглядный

       путь выяснения поведения нелинейной системы)

 

        Стохастические системы   

 

Стохастика - случайность.

 

Определение: Динамическая система называется стохастичес-

        кой , если она описывается дифференциальным

        или разностным уравнением, в правую часть

        которого входит случайный процесс.

 

Такую систему можно представить в виде линейного или не-

линейного четырехполюсника, на вход которого подается шум

        Стохастическая      

x(t)       система             X(t)

 

 

x(t)- шум

X(t)- выходной процесс

 

Составление модели любой динамической системы должно

в реальных условиях(например движение самолета или раке-

ты) составляться с помощью предварительных экспериментов

над движением реальной системы. (Как правило это диффе-

ренциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения

вставляется некоторый шум, который является случайным

процессом.

  Для дальнейшего составления модели используется иден-

тификация модели на основании эксперимента или экспери-

ментальных данных.

 

Идентификацией называется оценка коэффициентов разност-

           ного уравнения и оценка параметров шума:

          дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.                                                                                    

 

Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и

модель были близки.Получив модель мы имеем возможность,

используя эту модель, получить близкую к реальной карти-

не ситуацию движения системы и создать управление ситуа-

цией по нашей модели.

 

Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать

  управляемые динамические системы для любых такти-

ческих ситуаций, известных из практики.

 

Правильно созданная модель - это максимум успеха в проек-

                        тировании эффективной систе-

мы. После создания и отработки модели стохастической ди-

намической системы создается аппаратура по этой модели,

которая проверяется на динамическом стенде.

 

Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситу-

                ации уже с аппаратурой.

3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На

борту транспортного или военного средства).