Генератор марковского процесса, реализующий авторегрессию

               1-го порядка

 

   (1)  

                Генератор   

 

 - марковский случайный процесс

 - генератор случайных чисел (в ЭВМ)

 i = 0,1,2...n

 

Утверждение (1) : процесс (1) является марковским.

Доказательство: Пусть  заданная величина. Процедура (1) называется реккурсивной или иттеративной, рекурент-

ной.

    (2)

Пусть ~ , где 0-среднее,  - дисперсия.

В формуле (2) разность имеет гауссовкий процесс распре-

деления  или :

 

(3)        

 

(4)    

(3) получено из (4) и (2) заменив  на . Поскольку

 - независимые по условию, то имеем :

 

 

Утверждение доказано. Процесс (1) является марковским.

 

Структурная схема генератора марковского процесса

 

 

                                        

                

            реализация рекурсии

           

                   

           a            |¾¾|            рис. 1

                    T   

 

     

 

 

|¾¾| - линия задержки.

Это структурная схема 4х полюсника, которая реализует

генерацию марковского случайного процесса . Это генера-

тор с внешним возбуждением, который возбуждается с по-

мощью независимого гауссовского процесса .

 

Сетка дискретного времени:

|¾¾|¾¾|¾¾|¾¾® t

T

 

Утверждение (2)

 

На выходе 4х полюсника процесс  ,i=1,2...n - коррелиро-

ван, с коэффициентом корреляции ‘a’.

 

Доказательство: Из (1) имеем  , берем мат-

            ожидание,  ,

 ,  - коэффициент корреляции.

    Утверждение доказано.

 

Вывод: На вход схемы рис.1 идет некоррелированный слу-

   чайный процесс , а следовательно независимый.

   (если процесс гауссовский и некоррелированный, то

   он независимый, для других процессов это неверно)

   В природе наиболее часто встречается гауссовский

   случайный процесс. На выходе схемы - зависимый

   коррелированный марковский процесс, у которого

   плотность факторизуется по условным плотностям.

      - не факторизуется

        - факторизуется    

   Процесс (1) называется односвязный марковский

   процесс.

 

Замечание: Процесс (1) получен при дискретизации непре-

      рывного линейного диф. уравнения 1-го порядка.

             без учета стохастической правой час-

                            ти

На сетке дискретного времени имеем :

 ;  - получаем обычную ( не

                      стохастическую) авторегрессию.

 

Tc+1=a

 

 

Авторегрессия 2-го порядка - двухсвязный процесс

 

(1)

      

Коэффициенты  называются коэффициентами регрес-

сии. Уравнение (1) без стохастической правой части легко

получается из диф. уравнения 2-го порядка. Уравнение (1)

реализует генератор марковского процесса, который называ-

ется двухсвязным в зависимости от входного процесса .

 

 

            генератор  

          марковского                   рис.2 

                     двухсвязного

                                                процесса                             

 

На вход генератора действует белый шум. На выходе - двух

связный марковский процесс.

                                      g(f)

 

                                                                                                            белый шум

 

 

                      0                                          f                                                                                          f

В зависимости от коэффициентов  ны выходе будут раз-

личные процессы. Процесс (1) получается из линейного диф.

уравнения 2-го порядка, если это диф. уравнение рассмат-

ривать на временной сетке (дискретна во времени).

Известно, что диф. уравнение 2-го порядка имеет реше-

ние в виде комплексной экспоненты, если корни характерис-

тического уравнения комплексные, аналогично для некоторых

значений коэффициентов , процесс авторегрессии будет

иметь вид стохастической синусоиды.

 

Генератор двухсвязного марковского процесса

 

                                                 

 

                                                             |¾¾|             |¾¾|

 

                                                                    

 

                                                                                   T - период дискретизации

 

Изменение по синусоиде называется синусоидальный тренд.

Марковский процесс 2-го порядка более богатый, чем 1-го,

с помощью него можно моделировать более сложные процессы.

 

        Авторегрессия m-го порядка

(2)

             - возбуждающий белый шум.

Процесс (2) получен из диф. уравнения m-го порядка путем

дискретизации. Это марковский процесс с дискретным време-

нем.

Этот процесс значительно более информативен, чем ра-

нее рассмотренные, ибо он может моделировать сложномоду-

лированные случайные процессы. Он может модулировать АМ,

ЧМ, ФМ путем подбора  , а также подбором  мож-

но идентифицировать очень многие случайные процессы ре-

ально существующие на практике, например : хорошо моду-

лируется движение летательнвх аппаратов при маневре (рег-

рессия m=6¸16), речь, полет космического корабля, посадка

на планету.Стохастическая модель удобна потому, что она адекватна реальным ситуациям.

 

  Генератор m-связного марковского процесса               

 

                                             

                                          

                                                       

                                                      

                                                         |¾¾| ......      |¾¾|         |¾¾|

 

                                                                                               

                                                                                                                              

Разностные модели на примере модели 2-го порядка

 

(3)    - разностная модель 2-го порядка

 

   - приращение, характеризует скорость изменения

        процесса

 

                                   Модель с приращением удобна в том

                    плане, что не требуется заранее

                     знать коэффициенты регрессии.

 

       Разностные модели 3-го порядка

 

(4)

 

       - 1-я разность

       - 2-я разность

      

1-я разность характеризует скорость изменения случайного

процесса.

2-я разность характеризует ускорение.

 

Модель (3) и (4) очень широко иcпользуется на практи-

ке, т.к. здесь почти нет коэффициентов, которые нужно

идентифицировать ( а и  ), они легко подбираются на ЭВМ

по методу наименьших квадратов. Для этого надо иметь ре-

альный процесс отсчетов , модель (4) и нужно воспользо-

ваться следующей формулой МНК/метод наименьших квадратов/

    min     где,  - модель,    

                                                                                 - реальный процесс

 

Суть МНК состоит в следующем :

Есть  m-отсчетов реального процесса, есть m-отсчетов

модели, составляется сумма квадратов и подбираются пара-

метры (а, ) так, чтобы минимизировать эту сумму (делает-

ся это на ЭВМ)(метод перебора) но в авторегрессии m-го

порядка. Сделать это очень сложно.

 

        Модели скользящего среднего

 

Пусть  - независимая случайная величина, с произвольным распределением (очень часто гауссовское распределение)

 

М =0 ; М =  ;   (процесс не коррелирован)

Тогда процесс

 

(1)

         

     называется процессом скользящего среднего. Этот

процесс сформирован полностью из шума  (из белого шума)

путем сдвига и весового суммирования.

(  - весовые коэффициенты). Сумма (1) генерирует

процесс . Процесс  - коррелированный марковский

процесс.

 

Генератор скользящего среднего для формулы (1)

 

 

                            

                                          

                                  a      

                  

               

                                                   i    

                                  x    

           

   :                                      i 

   :    

 

 

          

 

Модель авторегрессии и скользящего среднего

 

 

авторегрессия скользящее среднее

генератор                генератор           

    случайного сигнала       авторегресии 

Здесь  - белый шум;

   - марковский(модельный)процесс, n=1,2....

Между генераторами процесс коррелирован.

 

     Многомерная марковская модель

 

(1)  , где

    ;  ;

Это самая распространенная модель

 

(2)

В модели (1) шумы характеризуются матрицей ковариации в

отличие от авторегрессии, под которой понимается следую-

щее:

 ;  ;

 - столбец

 - строка

Элементы матрицы  состоят из корреляции внутри столбика

шума. Столбики между собой коррелированы.

 

        Модель нелинейной регрессии

 

(3)

 

(4)

 

 

В формулах (3)(матричная форма записи),и (4)(скалярная

форма записи) индексы при ‘Х’ это не степени, а номера в

формуле столбика.

 (3) и (4) - самая информативная модель , все предыдущие

модели получаются как частный случай из этой модели. Нап-

ример модель речи линейная и нелинейная, но нелинейная

более точная.     

 

 

               Глава 4