Динамические системы наблюдаемые на фоне

           шумов

 

Одномерные динамические системы и фильтр Калмана

 

(1)  ;   

Шумы - называются шумами наблюдения (для активных по-

мех). Задачу фильтрации будем решать методом наименьших

квадратов. Задача фильрации требует уменьшить .

 

Вводим эмпирический риск :

        

(2)

- Это есть классическая запись метода наименьших квадра-

 тов . Эмпирический риск назван так потому, что в риск

 входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется

минимизировать риск, а следовательно уменьшить влияние

шумов.

 

Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда

невозможно было бы записать риск . Необходимо

так выбрать , чтобы получить минимум по всей траектории.

Эти  будем обозначать : - оптимальная траектория

Она получается путем дифференцирования  , i=1,2...n

Проделав математические операции получаем одномерный

фильтр Калмана.

(3)    ; - задано 

n=1,2...

 

Комментарий к формуле (3) :

 

Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шу-

мы  гауссовские, то этот фильтр является оптимальным.

(4)

 n ® ¥    

                       

Т.е. среднеквадратическая ошибка будет минимизирована.

Если шумы  не являются гауссовскими, то такая оценка

 является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выпол-

няется когда n ® ¥ .

Формула (4) является критерием минимума среднеквадрати-

ческой ошибки.

Фильтр Калмана дает оценку процесса  истинного процесса

 для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4),

т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки.

 

Замечание 1 : Оптимальность означает, что не существует

         другого фильтра, который мог бы дать такие

же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные

фильтры дают большую ошибку)

 

Замечание 2 : Фильтр Калмана, в отличие от согласованного

         фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим

образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает

максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает

сигнал) Для согласованного фильтра все равно какая форма

сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал,

что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаруже-

ния сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов.

 

Замечание 3 : Фильтр Калмана записывается во временной

         области, а не в частотной, как фильтр Вин-

         нера.

 

Фильтр Виннера - реализован в частотной области.

 

(5)       

K(w) - оптимальная функция передачи, которая мини-

       мизирует среднеквадратическую ошибку.

                                                                                     

 y(t)                                                             - Оценка оптимальна. Она минимизирует СКО.

 

 - энергетический спектр (распределение энергии

                       случайного процесса).

 - энергетический спектр помехи.

                     Фильтр Калмана и Виннера дают

   -        одинаковое качество фильтрации,

                     однако фильтр Калмана проще ре-

                     ализуется на ЭВМ. Поэтому его и

         АЧХ (пунктир) используют.  

               -   

режекция

  помехи

 

                                            Анализ фильтра Калмана

 

            Фильтр          

                 Калмана  

     ;  

 

x(t)- ненаблюдаемый случайный процесс

y(t)- наблюдаемый случайный процесс

                                      

                  y(t)   На входе фильтр Калма-       

                              на использует наблюде- 

                              ния и начальные усло-

                              вия. На выходе фильтра

                         x(t) получается исходный

                              процесс x(t). 

            

 

 

                            Фильтрация медленных процессов

 

x(t) 

                     При а=0.999,                                   

                          ,       

                      есть медленный процесс, тогда

         , это следует из формулы

                      (3).В этом случае  -   

                           t - экстраполяция (прогноз),т.е.

                       прошлая и текущая оценки поч-                       

ти одинаковы. В таком фильтре Калмана почти полностью иг-

норируются наблюдения. При оценке ситуации фильтр Калмана

не доверяет наблюдениям, а доверяет лишь прошлой оценке.

Это годится для процессов, которые можно легко предска-

зать.

 

       Фильтрация быстрых процессов

 

 - большая величина (>1); . 

x(t)               

           динамическая ошибка                   

                 

                 

          

   

                                                                                          t

Тогда , в этом случае  (оценка) равна самим наблю-

дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-

лым оценкам.

 

Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и

   динамическую ошибку.

 

Динамической ошибкой называется разница между оценкой  и

                истинным значением  процесса.

                - =динамическая ошибка.

Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.

При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

 

Невязка  входит в фильтр Калмана и выполняет роль

    корректирующего члена, который в формуле (3)

учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.

  Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке

плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,

которая взята с весом . (Корректирующий член учитывает

наблюдения на шаге ‘n’) Вес  учитывает апприорную дина-

мику системы (модели).

 

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

      

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного

алгоритма только в том случае, если имеется модель

случайного процесса, который он фильтрует.

2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только

в том случае, если реальный процесс близок к модели,

которую мы используем.

 

       Многомерный фильтр Калмана

 

(1) , где  - текущее время, -         

                               - вектор (столбики)

               A - матрица k´k, H - матрица m´k.

 - вектор,      - шум наблюдения

   ;       - шум динамической системы.

Запишем (1) в скалярной форме. covx=Q, covh=P.

 

 

Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :

 ,

                  где - вес, - невязка.

; где - единичная матрица

= Г ;       Начальные условия задаются из аппри-

Г ;      орных условий . - транспони-

                рованная матрица (сопряженная).

 

 

         Траекторные изменения

 

Часто требуется получить оценку траектории летательного

аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с

помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-

темой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-

теме координат :

                  Если известны точно все 9 коор-                

  Z          динат (см.ниже), то можно точ-   

       л.а.  но навести ракету. Для определе-

                  ния всех координат существуют    

  р   X      траекторные фильтры, которые 

                  строятся на базе фильтра Калмана. 

Y  

           

     Траекторный фильтр 2-го порядка

 

(1)   ; a<1 

Первые две строки (1) - это модель, последняя строка -

- наблюдение.

 

Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по мо-

дели (1) составим многомерную модель.

 ; 

(2)  ;

    

         ;  ; H=[1,0]

 Из формулы (2) имеем :

      

 ;   ;

; ;

 

  

    Траекторный фильтр 3-го порядка

 

(4) , первые две строки - модель,

                    последняя строка - наблюдения

 ;  ;  ;  ;

H = [1,0,0] ;

 ; ;

     

    Теория нелинейной фильтрации

 

Здесь нелинейные модели записываются в виде :

 

(1)   ; здесь : верхняя функция - нелиней- 

ная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.

Функция  генерирует на любом интервале неко-

торый случайный процесс . Это есть модель неко-

торого случайного процесса, более богатая, чем все преды-

дущие модели.

Уравнение наблюдений : наблюдается не сама , а не-

которая функция j( );наблюдения ведутся на фоне шумов

 - шум нелинейной динамической системы (шум модели)

1) Требуется найти оценку , такую, чтобы :

(2)

                 

Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической

ошибки. 

2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в

фильтре Калмана.

 

В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть

лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) -

- линеаризуются.

                      

Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора,

                       линейная часть (1-я, 2-го

члена). ( j(x) и f(x) - имеют непрерывные первые про-

изводные).

 

Разложение в ряд Тейлора в точке        

                      

где  - оценка, которую мы еще не знаем, но собираем-

ся находить.

Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим

линейную систему :

 

(2)          

 

Коэффициенты a,b,c,d находятся после подстановки.

 и  имеют произвольное распределение.

Будем использовать метод наименьших квадратов для на-

хождения оценок .

                      

        ;  ;

  Выпишем эмпирический риск :  

                                     

                       

r - функционал.

 

После линеаризации :

    

производная из r берется легко

Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции

получаем :

 

(3)   

     

 ;  - задано

 

Выводы :

   1. В связи с тем, что начальная точка разложения

      в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-

      ке , то несмотря на линеаризацию, урав-

      нение (3) получилось как нелинейное и оно по-

      хоже на уравнение (1) модели.

   2. В отличие от фильтра Калмана, в , при рек-

      курентном его вычислении входит  - оценка

      ‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно

      вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-

      мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-

      вует так называемая обратная связь.

 

Пример нелинейной фильтрации :

 

        ;  

T - период колебания

t - период дискретизации

t - текущее время

- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1

 

    процесс наблюдается на фоне шума

 

 - дискретная частота;

 

                                                                                        (4)            

 

 

           t                                                 

 

                  Т

 

Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате

была минимальной.

                    

                                                                                    

 

             . Из (3) получаем :

 

(5)

 

   Перемножим и пренебрежем 2й гармоникой :

(6)  - ФАПЧ

 

(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(раз-

       ностное уравнение)    

 

 

    

    

 

 

        Структурная схема ФАП                                        

 

        - на вход

 

  вх                               

                                       

                                                                                

                   a

                                 

               синтезатор         t 

                                                                опоры

                                ­     

 На вход поступает аддитивная смесь.

 

            Принцип работы ФАП

 

Измеритель фазы является следящей системой с отрицатель-

ной обратной связью. Опорное колебание  с фа-

зой  - экстраполированная фаза. º . Чем точнее

экстраполяция, т.е. чем меньше , тем точ-

нее будет оценка.

 

 

                 Глава 5