Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L ( H ). Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L ( H ), что π ( x + y ) = π ( x ) + π ( y ), π (α x ) = α π( x ), π ( xy ) = π ( x ) π ( y ), π ( x *) = π ( x )* для любых х, y А и α С. Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π. Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х А, то есть U π1(х) = π2(х) U для всех х А. Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х) f (для всех х А) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π. Определение 2.4. Подпространство Н1 Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1 Н1. Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х А) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1. Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно. Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть ( f , g ) = 0 для всех g Н1. Тогда для любого х А (π(х) f , g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*) g) = 0, так как π(х*) g Н1. Следовательно, вектор π(х) f также ортогонален к Н1. Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1 Н1. Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1. Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f Н1, но также π(х) f Н1. Отсюда для любого вектора f Н π(х)Р1f Н1 следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f , то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1. Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также Р1π(х)Р1 = Р1π(х). Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют. Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f Н1 Р1π(х) f = π(х)Р1f = π(х) f ; Следовательно, также π(х) f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство. Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида h = f 1 + … + fn, где f 1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х) h = π(х) f 1 +…+ π(х) fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х) g. 2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi ) i I - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н i (i I). Пусть || πi ( х) || ≤ сх где сх – положительная константа, не зависящая от i. Обозначим через Н прямую сумму пространств Н i, то есть Н = Н i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Н i. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое πi или π1 ….. πn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi) i I – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления πi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π. Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее. Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент. Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений. Доказательство. Пусть f 0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х) f 0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f 0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π. Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H -Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1. Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα} М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н= Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-( Нα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα} Н0 М, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (192)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |