Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂. Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀  Н₁  Н₂ ( (С² L₂((0, ), dρ_к)))                                     (2.1.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ +Р₂. Н₀=Н_0,0 , Н₁=Н_1,0 Н_0,1 , Н₂=Н_1,1  

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ  (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А)  [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀  Н₁  Н₂ ( (С² L₂((0, 2), dρ_к)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρ_к  (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А)  [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁΄ Р₂΄ равенствами

Р₁΄ = P₁ P₂ ( ( I_к ))              

Р₂΄ = P₂  ( I_к ))

где P_i: Н→Н_i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I_k – единичный оператор в L₂((0, 2), dρ_к)). Тогда А =Р₁΄ + Р₂΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_к΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А)  [0, a] [b, a+ b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀  Н _a Н _b Н _{a+ b}  ( (С² L₂([0, a] [b, a+ b], dρ_к))))      (2.2.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования х→ a+ b.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Пусть Н₀=Н_0,0, Н_а=Н_0,1, Н _b=Н_1,0 , Н _{a+ b}=Н_1,1. Так как (А)  [0, a] [b, a+ b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀  Н _a Н _b Н _{a+ b}  ( (С² L₂([0, a] [b, a+ b], dρ_к))))

где меры ρ_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+ b-х.

Обратно, пусть (А)  [0, a] [b, a+ b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_a P_a+b ( ( I _к ))              

Р ₂ = P_b P_a+b ( I _к ))

где Р_α: Н→Н _α , α = a, b, a+ b – ортопроекторы, I_к – единичный оператор в L₂([0,a] [b, a+ b]). Тогда

А = aР ₁ + bР ₂ = aР ₁  bР ₂ (a+b)P_a+b ( ( I _к ))

 ( I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ .

P₂ = С <p₁, p₂ | p_к² = p_к* =p_к>.

А именно: 4 одномерных π_0,0(p₁) = 0, π_0,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0, π_0,1(p₂) = 1; π_1,0(p₁) = 1, π_1,0(p₂) = 0; π_1,1(p₁) = 1, π_1,1(p₂) = 1.

И двумерные:  ,     τ  (0, 1)

Изучен спектр операторов Р₁ + Р₂, aР₁ + bР₂ (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р₁ + Р₂  и А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.