Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁^┴ = 2Р₁ – I и В = Р₂ – Р₂^┴ = 2Р₂ – I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А   (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL L, но тогда ВL АL L, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть L Н: АL L и ВL L, то из включения АВL АL L следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L Н такое, что Р₁L L, Р₂L L. Рассмотрим АL = (2Р₁ – I)L L, ВL = (2Р₂ – I)L L, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L = L L, Р₂L = L L, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если e^iφ (U), то e^{- iφ} (U).

Доказательство.

1) Если e^iφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f Н: ||f|| = 1 и Uf = e^iφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = e^iφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^{- iφ} принадлежит спектру U.

2) Если e^iφ (U), то существует последовательность единичных векторов   в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^iφ f_n || = || UАf_n - e^iφ A f_n || = || U^-1Аf_n - e^iφ A f_n || → 0 при n → ∞ (|| Аf_n || =1)

Тогда e^iφ (U^-1), следовательно e^{- iφ} (U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² – 2I + U^-2) = (U² – 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом        А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А        (2.2.)

                                 А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А         (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d С. По теореме преобразования спектров e^iφ+ e^{- iφ} = c, e^iφ- e^{- iφ} = ±d.

1) Если d = 0, то (U) состоит из одной точки e^iφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, х H.

2) Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек e^iφ=  и e^{- iφ}=    φ (0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^iφ (или e^{- iφ}), Н_eiφ = {f H | Uf = e^iφ f} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = e^iφ f, U(Аf) = e^iφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiφ= dimН_-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {e^iφ, e^{- iφ}} φ (0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = ,   U = ,  В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂  ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1  ( (С² L₂((0, ), dρ_к)))           (2.4.)

где ρ₁ > ρ₂ >… ρ_к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0 P_1,1  ( ( I _к ))                                                           (2.5.)

Р ₂ = P_0,1 P_1,1  ( I _к ))                         (2.6.)

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0  Н_0,1  Н_1,0 Н_1,1  Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂  отвечает циклическое представление π_F *-алгебры P₂  в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ_F на Т.

Пусть каждому вектору ξ Н поставим в соответствие подпространство Н _ξ  Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х А. Ограничения операторов из π(А) на Н _ξ  является циклическим представлением. Обозначим его через π_ξ, а соответствующую меру на Т через μ_ξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μ_ξ> μ_η (то есть μ_η абсолютно непрерывна по мере μ_ξ).

Если η Н _ξ, то Н_η Н _ξ, тогда π_η – циклическое подпредставление π_ξ. Пусть Е  Т и μ_ξ(Е) = 0, тогда μ_η(Е) = 0, следовательно μ_ξ> μ_η, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нη_к. Пусть {ζ_i} – последовательность, в которой каждый из векторов η_i встречается бесконечное число раз. Определим ξ_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1) ξ_к+1 – максимальный вектор в ( Нξ_i)^┴,

2) d (ζ_к, Нξ_i) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξ_к такое что ξ_к>ξ_к+1 и μ_к>μ_к+1 .

Пусть представления π_μ в L₂(Т, μ) и π_ν в L₂(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L₂(Т, μ) →L₂(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπ_μ(g)f = π_ν (g)vf = π_ν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|²dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С² L₂(Т,μ_к)), где μ₁>μ₂>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P₁ = P_1,0 P_1,1  ( ( I _к ))                                                             

Р ₂ = P_0,1 P_1,1  ( I _к ))                     

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1 С² Н(φ)dЕ(φ)                         (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р₁, Р₂ подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I₊=E(0, ) в Н₊ = С² Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P₁ = P_1,0 P_1,1 I₊                                                                       (2.8.)

Р ₂ = P_0,1 P_1,1 dЕ(φ)          (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L₂(R, dρ_к), где ρ_к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.