Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P₂

P₂  = С < р₁, р₂ | р₁² = р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2 p₁ – 1, v = 2 p₂ – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ – 1)² = 4p₁ – 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P₂  можно задать иначе:

P₂ = С < p₁*= p₁, p₂*=p₂ | p₁² = p₁, p₂² = p₂ > = C <u* = u, v* = v | u² = 1, v² =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P₂ , с точностью до унитарной эквивалентности.

 

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ . Пусть π: P₂ →L( H) - *-представление *-алгебры P₂ . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P₂ = С < р₁, р₂ | р₁² = р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

Обозначим через Р_к = π(р_к), к = 1,2. Поскольку р_к²= р_к* = р_к (к = 1, 2) и π - *-представление, то Р_к² = Р_к* = Р_к (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {y H | Р_кy = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н₁ = Н₂ = {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2. Н₁ = Н (то есть dim H₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3. Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dim H₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4. Н₁ = Н₂ = Н (dim H₁ = dim H₂ =1), тогда Р₁ = 1, Р₂ = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P₂, причем они неэквивалентны.

 

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P_{2 .}  Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к^┴ - ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H₁ Н₁^┴ , Н=H₂ Н₂^┴  

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0 = Н₁^┴ ∩Н₂^┴, Н_0,1 = Н₁^┴ ∩Н₂, Н_1,0 = Н₁ ∩Н₂^┴, Н_1,1 = Н₁ ∩Н₂.                  (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ij  нетривиально, то есть dim H_ij  =1. Пусть, например, dim Н_1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0 = л.о. {h}, но тогда P₁h = h, P₂h = 0; следовательно Н_1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij  ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ij  линейно независимы) и dim H₁ = dim H₂ =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁, e₂} и {g₁, g₂}, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид . Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂}.

Пусть   g₁ = a₁₁e₁ + a₁₂ e₂

             g₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

             e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂

            e₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^ite₁ и h₂ = e^ile₂, тогда

|| h₁ || = || e^ite₁ || = || e₁ || = 1,        || h₂ || = || e^ile₂ || = || e₂ || = 1

(h₁ , h₂ ) = (e^ite₁ , e^ile₂) = e^{i( t- l)}( e₁, e₂ ) = 0, то есть {h₁ , h₂} – ортонормированный базис.

Р₁h₁ =e^{i t} Р₁   e₁ = h₁,     Р₁h₂ =e^il Р₁   e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁ , h₂} матрица оператора Р₁ также имеет вид . Тогда можно считать, что a₁₁, a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁ e₁=|a₁₁| e^ite₁ =|a₁₁| h₁)

(e₁, e₂ )= 0, значит a₁₁ a₂₁ = a₁₂ a₂₂ = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a₂₂ = - ra₁₁

a₂₁ = ra₁₂

Базис (e₁, e₂ ) ортонормированный; следовательно

a₁₁² + a₁₂² = 1

|a₂₂ |² + |a₂₁ |² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂ e₁ = Р₂ ( b₁₁g₁ + b₁₂g₂) = b₁₁g₁ = b₁₁a₁₁e₁ + b₁₁a₁₂e₂,

Р₂ e₂ = Р₂ ( b₂₁g₁ + b₂₂g₂) = b₂₁g₁ = b₂₁a₁₁e₁ + b₂₁a₁₂e₂.

Найдем b₁₁ и b₂₁:

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂ = b₁₁ (a₁₁e₁ + a₁₂ e₂) + b₁₂ (a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂)e₁ + (b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂)e₂,

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ = 1

b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂ = 0   или

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ r = 1

b₁₁a₁₂ - b₁₂a₁₁ r = 0,

Тогда b₁₁ = a₁₁.

Аналогично

E₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂ = (b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁)e₁ + (b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂)e₂,

b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁= 0

b₂₁ a₁₂ + b₂₂ a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂.

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂ } будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂)

Р₂ = , где a₁₁>0, a₁₂>0 и a₁₁² + a₁₂² =1

А) Пусть a₁₁² = τ, тогда a₁₂² =1 – τ, a₁₁a₁₂ = . Так как a₁₁ a₁₂ >0, то τ (0, 1).

Тогда Р₂ = .

В) Положим a₁₁ = cosφ,тогда a₁₂ = sinφ и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ = .

Найдем коммутант π( P₂). Пусть Т =  оператор перестановочный с Р₁ и Р₂, тогда

ТР₁ =  =

Р₁Т =  =

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ =  =

Р₂Т=  =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν (0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁U, следовательно U= , a, b C

UР₂ (τ) =  =

Р₂ (ν) U =  = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P₂ →L( H) - *-представление *-алгебры P₂ .

Тогда:

( i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π_0,0( p₁) = 0; π_0,0( p₂) = 0; π_1,0( p₁) = 1;  π_1,0( p₂) = 0;  π_0,1( p₁) = 0;  π_0,1( p₂) = 1; π_1,1( p₁) = 1; π_1,1( p₂) = 1;

( ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π( p₁)  , π( p₂)  τ  (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π( p₂) =  φ  (0, ).

 

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P₂ . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁, dimН₁^┴) + max (dimН₂, dimН₂^┴) > 2n+1                         (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н _{i, j} ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n, dimН₂ = n и Н _{i, j} = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н _{i, j}  линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х Н₁ такой, что Р₁Р₂х = λх, где λ С.

Доказательство. Пусть ,  ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

                                 

к = 1,…, n                                     к = 1,…, n

Так как х Н₁, то , g_k C, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂ = Р₁Р₂ = Р₁ =

= Р₁ = = ( )  =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

=

j = 1,…, n

Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a + b) Р₂х L

dimL = 2, так как Н _{i, j} = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =  Р₂х, значит = 0 или 1 и х Н_1,1; тогда Н_1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

 

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1  ( (С² Н_к)),                              (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно φ_к  (0, ), φ_к ≠ φ _i при к≠i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i,j: Н → Н _{i, j} , Рφ_к: Н → С² Н_к – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0  P_0,1  P_1,0 P_1,1 ( Рφ_к ),                                            (1.2.)

P₁ = P_1,0 P_1,1 ( ( I_к ))                                                   (1.3)

Р ₂ = P_0,1 P_1,1  ( I_к ))              (1.4)

где I_к – единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН _{i, j} = n_{i, j}. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0  Н_0,1  Н_1,0 Н_1,1  Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ_к  (0, ):

Н΄ = Нφ_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нφ_к, у которых одно φ_к, получим изоморфизм

Нφ_к … Нφ_к ≈ С² Н_к , где Нφ_к n_к экземпляров, dim(Нφ_к … Нφ_к )=2n_к dim(С² Н_к) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0  Н_0,1  Н_1,0 Н_1,1  ( (С² Н_к))

Пусть π_{i, j} – сужение π на Н _{i, j}  ( i, j= 0,1), π_к – сужение π на Нφ_к (к = 1,…, m), то есть π_{i, j} и π_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n_0,0π_0,0 n_0,1π_0,1 n_1,0π_1,0 n_1,1π_1,1 ( n_кπ_к)         (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0  P_0,1  P_1,0 P_1,1  ( Рφ_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0 P_1,1  ( ( I _к ))

Р ₂ = P_0,1 P_1,1  ( I _к ))

Причем n_1,0π_1,0(р ₁) = P_1,0 , n_0,1π_0,1(p₂) = P_0,1 , n_1,1π_1,1(р ₁) = P_1,1 , n_0,0π_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.