Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y  Н,  λ  С. Тогда (1 - λ) Р_х = Р_y . Если λ ≠ 1, то Р_х = Р_y. Если х ≠ 1, то х = ( Р_y - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Р_х ≠ 0. Тогда Р(Р_х) = Р_х, то есть 1 _р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 _р (Р). Итак,   (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к – область значений оператора Р_к к = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем (А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х  Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0  (А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х  Н₂ = Н Ах = х, то есть 1  (А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х  Н₁ = Н Ах = х.

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х  Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁х + Р₂х = 2х, то есть 2  (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х  Н_0,0 , тогда Ах = 0 и 0  (А).

2) х  Н_0,1  или х  Н_1,0 , тогда Ах = х и 1  (А).

3) х  Н_1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2  (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Н _{i, j}  ≠ {0}, то существуют k, l = 0,1 такие, что Н _{i, j}  Н _{k, l} = H.  В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н _{k, l} = {0} для любых k, l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р₁ и Р₂, тогда АL L. Пусть х L, тогда Р_kх = λ_кх (k = 1, 2 ). Так как Р_k  ортопроектор, то возможны случаи:

(i) λ₁ = 0, λ₂ = 0;

(ii) λ₁ = 0, λ₂ = 1;

(iii) λ₁ = 1, λ₂ = 0;

(iv) λ₁ = 1, λ₂ = 1;

Но это означает, что  k, l = 0,1 такие, что Н _{k, l} ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р₁, Р₂ неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р₁ и Р₂ в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р₁ = , Р₂      τ  (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР₁ + bР₂, a и b  С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР₁ + bР₂ – λI) = 0.

                                                                         (1.1.)

Тогда ,              (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ₁ = 1+ε , λ₂ = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда (А) {0, 1, 2} {1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К L, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х  Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ  (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н₀ = Н_0,0, Н₁=Н_0,1 Н_1,0, Н₂=Н_1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφ_к φ_к  (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р₁ и Р₂ неприводимы в Нφ_к (к = 1,…, s), и собственные значения 1+ε_к, 1-ε_к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφ_к = Н_1+εк Н_1-εк , причем dimН_1+εк =dimН_1-εк = 1                        (1.3)

Если φ_к ≠ φ _i, то ε_к ≠ ε_i (так как ε_к = =cosφ_к  и φ_к  (0, )). Объединим все Нφ_к , у которых одинаковые φ_к , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφ_к. При этом, если dimНφ_к = 2q_k, то есть Нφ_к состоит из q_k экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φ_к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφ_к = Н_1+εк Н_1-εк , dimН_1+εк =dimН_1-εк = q_k.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ и Р₂ тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2} ( {1+ε , 1-ε}), 0<ε_к<1,

причем dimН_1+εк =dimН_1-εк к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р₁ и Р₂, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2} ( {1+ε , 1-ε}), где 0<ε_к<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН_1+εк =dimН_1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н₍₀₎  Н₍₁₎ Н₍₂₎  ( (С² Н_к))                                                      (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе 

Н = Н₍₀₎  Н₍₁₎ Н₍₂₎  ( (С² (Н_1+εк Н_1-εк )))                                (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р₁ и Р₂ следующим образом 

P₁ = P _{Н 2} ( ( I _к ))                                                                          (1.6.)

Р ₂ = P_{Н 1} P_{Н 2}  ( I _к ))                    (1.7.)

где P_{Н к} – ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s – единичный оператор в H_s s=1,…, m. Но тогда 

Р₁ + Р₂ = P_{Н 1} P_{Н 2}  ( I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ₁ + λ₂ = a + b. Пусть λ₂ = ε, тогда λ₁ = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)² – 4a b(1-τ) = (a - b)² + 4a bτ > 0.

Тогда ε =  > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)² +4ab τ ≤ (b – a)²

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ₁ = ε

λ₂ = a + b – ε.                                                                             (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b} ( {ε_к , a + b - ε_к}), 0<ε_к<1, и

dimН_εк =dimН_{a+ b-εк} (Н_εк , Н_{a+ b-εк} - собственные подпространства оператора А, отвечающие ε_к) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂, 0<a<b. Найдем (А).

1) х  Н_0,0, то Ах = 0 и 0 (А);

2) х  Н_0,1 , то Ах = bx и b (А);

3) х  Н_1,0 , то Ах = ax и a (А);

4) х  Н_1,1 , то Ах = ( a+ b) x и a+ b (А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b} ( {ε_к , a + b - ε_к}), где 0<ε_к<1, к=1,…m. Причем числа ε_к, a + b - ε_к входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ε_к также инвариантна относительно А и dimН_εк =dimН_{a+ b-εк} = q_k. (с учетом кратности ε_к)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎  Н_{( a)} Н_{( b)} Н_{( a+ b)}  ( (С² Н_к))                            (1.9.)

Где Н₍₀₎=Н_0,0 , Н_{( a)} =Н_1,0 , Н_{( b)}=Н_0,1 , Н_{( a+ b)}=Н_1,1  или

Н = Н₍₀₎  Н_{( a)} Н_{( b)} Н_{( a+ b)}  ( (Н_εк  Н_{a+ b-εк})                             (1.10.)

Положим

P₁ = P_a P_a+b ( ( I _к ))                                                             (1.11.)

Р ₂ = P_b P_a+b  ( I _к ))                  (1.12.)

Но тогда

aР ₁ + bР ₂ = aP_a bP_b  (а +b)P_a+b  (a ( I _к ))

(b I _к )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b} ( {ε_к , a + b - ε_к}), (0<ε_к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.