Сложные аффинные преобразования

Сложные аффинные преобразования можно получить как комбинацию простых (элементарных) преобразований. При этом выбирать простые аффинные преобразования можно по разному. Например, поворот можно представить как комбинацию масштабирования и сдвига. Тем не менее, для удобства, поворот также считается элементарным преобразованием. Поворот вокруг произвольного вектора представляется как комбинация поворотов вокруг координатных осей. Об этом будет подробно рассказано в следующей статье.

ПРОЕКТИ́ВНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, вза­им­но од­но­знач­ное пре­об­ра­зо­ва­ние про­ек­тив­ной плос­ко­сти или про­ек­тив­но­го про­стран­ст­ва в се­бя, при ко­то­ром точ­ки, ле­жа­щие на пря­мой, пе­ре­хо­дят в точ­ки, так­же ле­жа­щие на пря­мой (по­это­му П. п. ино­гда на­зы­ва­ют кол­ли­неа­ци­ей).

Проективные преобразования плоскости. Понятие проективного преобразования обобщает понятие центральной проекции. Если выполнить центральную проекцию плоскости α на некоторую плоскость α₁, затем проекцию α₁ на α₂, α₂ на α₃, … и, наконец, какой-то плоскости α_n опять на α₁, то композиция всех этих проекций и есть проективное преобразование плоскости α; в такую цепочку можно включить и параллельные проекции. Заметим, что при центральной проекции плоскости α на β на каждой из этих плоскостей имеется исключительная прямая, а именно прямая, по которой эта плоскость пересекается с плоскостью, проведенной через центр проекции O параллельно второй плоскости: на плоскости α для точек Xисключительной прямой проекция не определена (т.к. прямая OX не пересекает плоскость β), а на плоскости β в точки исключительной прямой по аналогичной причине ничего не проектируется. При рассмотрении цепочки центральных проекций на плоскости α образуется несколько исключительных прямых. Чтобы избавиться от этого неудобства, плоскость пополняют, добавляя к ней бесконечно удаленные точки: к каждой прямой a добавляется одна такая точка, причем эта же точка добавляется и ко всем прямым, параллельным a. Считают также, что все бесконечно удаленные точки образуют новую, бесконечно удаленную, прямую. Любые две прямые на пополненной плоскости имеют ровно одну общую точку.

Более формально процедура пополнения определяется так: каждый класс всех параллельных между собой прямых (пучок) объявляется новой точкой, которой пополняются все прямые этого пучка; к множеству пополненных прямых добавляется еще одна прямая, объединяющая все новые точки.

Проективным преобразованием пополненной плоскости называется ее взаимно-однозначное отображение на себя, при котором сохраняется коллинеарность точек, или, другими словами, образом любой прямой является прямая. Всякое проективное преобразование есть композиция цепочки центральных и параллельных проекций.

Свойства[править | править код]

· Проективное преобразование сохраняет двойное отношение.

· Проективное преобразование является взаимно однозначным отображением множества точек проективной плоскости, а также является взаимно однозначным отображением множества прямых.

· Отображение, обратное проективному, является проективным отображением. Композиция проективных отображений является проективным отображением. Таким образом, множество проективных отображений образует группу.

· Центральное проектирование — частный случай проективного преобразования.

· Аффинное преобразование является частным случаем проективного.

· Каждая прямая плоскости при проективном преобразовании плоскости отображается проективно на некоторую прямую. Каждый пучок лучей плоскости проективно отображается на пучок лучей.

· Проективное преобразование прямой определяется заданием трёх пар соответствующих по отображению точек. Это утверждение называют иногда основной теоремой проективной геометрии.

· Проективное преобразование плоскости определяется заданием четырёх пар соответствующих по отображению точек, причём никакие три точки из четверки образов или прообразов не лежат на одной прямой. При нетождественном отображении число неподвижных точек не более трех.

· Каждое проективное преобразование плоскости задаётся обратимым линейным преобразованием соответствующего ей трёхмерного пространства. В однородных координатах оно представляется уравнениями:

{\displaystyle {\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{21}x_{1}+c_{22}x_{2}+c_{23}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{31}x_{1}+c_{32}x_{2}+c_{33}x_{3}\end{cases}}}

причём {\displaystyle \det(c_{ij})\neq 0} .

Перспектива[править | править код]

Перспективное отображение
{\displaystyle ABCD\doublebarwedge A'B'C'D',}

Пусть на проективной плоскости имеются 2 различные прямые {\displaystyle u_{1},u_{2}} и не принадлежащая им точка O. Перспективным отображением^[en] прямой {\displaystyle u_{1}} на прямую {\displaystyle u_{2}} с центром O называется отображение {\displaystyle \psi :u_{1}\to u_{2}} , где для произвольной точки {\displaystyle A\in u_{1}} точка {\displaystyle \psi (A)} находится как пересечение {\displaystyle OA} и {\displaystyle u_{2}} . Это отображение обозначается так: {\displaystyle u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},} что читается «{\displaystyle u_{1}} переводится в прямую {\displaystyle u_{2}} перспективным отображением с центром O» или так: {\displaystyle ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,} что читается «точки {\displaystyle A,B,C,\ldots } переводятся перспективным отображением с центром в O в точки {\displaystyle A',B',C',\ldots } ».

Перспективное отображение биективно, сохраняет точку пересечения прямых {\displaystyle u_{1},u_{2}} и сохраняет двойное отношение четверки точек.

Любое проективное отображение прямой {\displaystyle u_{1}} на прямую {\displaystyle u_{2}} может быть представлено как композиция перспективных отображений. Проективное отображение обозначается {\displaystyle ABCD\barwedge A'B'C'D'.}

Инволюция[править | править код]

Проективное преобразование {\displaystyle \phi } называется инволюцией, если для любой точки P верно, что {\displaystyle \phi (\phi (P))=P} .

Если {\displaystyle \phi } — инволюция, то {\displaystyle \phi ^{-1}=\phi } .

Если проективное преобразование {\displaystyle \phi } прямой имеет хотя бы одну такую точку P, что {\displaystyle \phi (\phi (P))=P} , то {\displaystyle \phi } — инволюция.

Если нетождественная инволюция проективной прямой имеет неподвижные точки, то их число равно либо двум, либо нулю. Инволюция, имеющая 2 неподвижные точки, называется гиперболической. Гиперболическая инволюция переставляет местами точки, гармонически сопряжённые относительно неподвижных точек. Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция определяется заданием двух пар соответствующих точек.

Три пары противоположных сторон полного четырёхугольника пересекают любую прямую (не проходящую через вершину) в трёх парах точек одной инволюции (это утверждение называют теоремой Дезарга, хотя её происхождение можно отнести к лемме IV «Поризмов» Евклида в VII томе «Математической коллекции» Паппа Александрийского).

Коллинеации и корреляции[править | править код]

Коллинеацией называется преобразование, переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее отношение инцидентности точек и прямых, а также двойное отношение любой четвёрки коллинеарных точек. Коллинеации образуют группу. Требование сохранения двойного отношения четвёрки коллинеарных точек избыточно, но это сложно доказывается. Коллинеации рассматривают вместе с корреляциями — преобразованиями проективной плоскости, переводящими точки в прямые, а прямые в точки и сохраняющими отношение инцидентности. Пример корреляции — полярное соответствие, то есть отображение, переводящее точку в её поляру относительно конического сечения, а прямую — в её полюс.

Гомология[править | править код]

Основная статья: Гомология (проективная геометрия)

Гомологией называется нетождественная коллинеация, для которой существует поточечно неподвижная прямая p, называемая осью гомологии.

Для всякой гомологии существует неподвижная точка P (центр гомологии), обладающая тем свойством, что всякая инцидентная ей прямая неподвижна. Кроме центра P и точек оси p гомология неподвижных точек не имеет. Если {\displaystyle P\in p} , то гомология называется параболической, иначе — гиперболической.

При гомологии плоскости точка и её образ лежат на одной прямой с центром гомологии, а прямая и её образ пересекаются на оси гомологии.

Гомологию можно задать центром, осью и парой соответственных прямых. Гомологию можно также задать центром, осью и т. н. константой гомологии, отличной от {\displaystyle 0,1,\infty } .

36. Графические примитивы.

Графические примитивы это заранее определенные элементы, которые можно поместить в чертеж при помощи одной команды. Каждый графический примитив формируется на основании геометрического описания объекта.
Примитивы (табл.№1.) можно классифицировать:

· односложные и составные;

· плоские и объемные (3d).

Таблица №1

Большинство команд обрисовки базовых примитивов собраны в подменю Рисовать. Каждый примитив формируется своей командой, чаще всего совпадают по имени с примитивом. Для некоторых примитив пользователю предлагается несколько способов построения одного и того же примитива по различным исходным данным, например окружность можно построить по центру и радиусу, по центру и диаметру, по трем точкам на плоскости и т.д. Каждый примитив обладает рядом свойств (например, принадлежность слою, цвет, видимость, тип линии и т.д.).
Некоторые команды требуют ввода дополнительных опций в командную строку.

Свойства примитивов.

Примитивы имеют следующие свойства:
- Цвет (color);
- Тип линий (linetype);
- Масштаб типа линий ;
- Принадлежность слою ;
- Уровень и высота (elevation).