Противоположные события

Задача 25

В ящике 40 деталей, из которых 15 стандартных. Из ящика наугад взяли 10 деталей. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 10 деталей хотя бы одна стандартная.

Решение

1. Пусть событие А - «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и   - «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной».

2. Найдем число способов, которыми можно извлечь из 40 деталей 10:

.

3. Найдем число нестандартных деталей:

К_{нестанд}=40-15=25.

4. Найдем число способов, которыми можно извлечь из 25 нестандартных деталей 10:

.

5. Найдем вероятность того, что среди 10 извлеченных деталей нет ни одной стандартной:

6. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» противоположные. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

.

Тогда Р(А)=1-0,00388=0,996.

Ответ: 0,996.

 

Задача 26

Из шести карточек, образующих слово „МАСТЕР", наудачу выбирают четыре и выкладывают слева направо. Найдем вероятность   того, что в результате получится слово „ТЕМА" и вероятность Р(В) того, что в результате получится любое другое слово, кроме «ТЕМА».

Решение

1. , где Р(А) – вероятность наступления события А, n – число благоприятствующих событию А случаев, m – общее число случаев.

2. Элементарным исходом в данном опыте является любая четверка карточек с учетом порядка их выбора, т.е. размещение из   элементов по     элементов. Поэтому число этих исходов равно числу размещений из шести элементов по четыре элемента, т.е.

3. Очевидно, что число исходов, благоприятствующих событию , .

4. Следовательно,

5. События А и В – противоположны, следовательно .

Ответ:  и

 

Условная вероятность

Задача 27

В урне 5 белых и 5 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар.

Решение

1. Пусть событие А – появление черного шара при первом испытании, событие В – появление белого шара при втором испытании.

2. Определим общее количество шаров в урне: К=5+5=10.

3. Найдем вероятность извлечения белого шара при втором испытании. Так как после первого испытания шаров в урне осталось 9, причем белых из них 5, тогда .

Ответ: .

 

Задача 28

В урне 5 белых и 5 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором испытании – белый шар. Применить формулы комбинаторики.

Решение

1. Пусть событие А – появление черного шара при первом испытании, событие В – появление белого шара при втором испытании.

2. Определим общее количество шаров в урне:

К=5+5=10.

3. Определим вероятность появления черного шара при первом испытании:

.

4. Определим общее число исходов появления двух шаров (безразлично какого цвета). Общее число исходов равно числу размещений:

.

.

5. Определим число благоприятных событий появлению подряд черного и белого шаров: .

6. Определим вероятность появления подряд черного и белого шаров: Р(АВ)= .

7. Определим вероятность появления белого шара при втором испытании:

Р(В)= .

Ответ: .

 

Способ 2

В первом испытании – черный – 5/10 или ½. Во втором испытании 5/9. И тот, и то имеем ½*5/9=5/18.