Способы разложения на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки 2ab2 - 4a 2c = 2a × (b2 - 2ac)

2. Способ группировки 3a+ 6b- a 2 - 2ab = 3 × (a + 2b) - a(a + 2b) = (a + 2b)(3 - a)

       

3. Разложение квадратного 3-х члена на множители: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2 ) , где уравнения ax 2 + bx + c = 0

 

x1 ,

 

x2 - корни

Пример: 2x 2 - x - 10 = 2(x - 5 )(x + 2) = (2x - 5)(x + 2) . Так как 2x2 - x -10 = 0 ;

2

D = 81,

x1 = 5 ,

2

x2 = -2 .

4. Какое из следующих тождеств равно произведению a(a - 2) ?

1) a(2 - a)

2) - a(2 + a)

3) - a(2 - a)

4) - a(a - 2)

Решение. Преобразуем данное выражение: a(a - 2) = a × a - a × 2 = a 2 - 2a .

Преобразуем выражения:

1) a(2 - a) = a × 2 - a × a = 2a - a 2 = -a 2 + 2a

- не совпадает с исходным;

2) - a(2 + a) = -a × 2 - a × a = -2a - a 2 = -a 2 - 2a

- не совпадает с исходным;

3) - a(2 - a) = -a × 2 - a × (-a) = -2a + a 2 = a 2 - 2a

- совпадает с исходным;

4) - a(a - 2) = -a × a - a × (-2) = -a 2 + 2a

- не совпадает с исходным;

Другие решения: Преобразуем выражения и сравним с исходным.

1) a(2 - a) = a(-a + 2) = -a(a - 2)

- не совпадает с исходным;

2) - a(2 + a) = -a(a + 2)

- не совпадает с исходным;

3) - a(2 - a) = -a(-a + 2) = a(a - 2)

- совпадает с исходным;

4) - a(a - 2)

- не совпадает с исходным. Ответ: 3.

5. Укажите выражение, тождественно равное дроби

x - 2 . 1 - x

1) - 2 - x   2)

x -1

2 - x

1 - x

3) - 2 - x

1 - x

4) x - 2

x - 1

Решение. Будем преобразовывать выражения, приведенные в ответах, начиная с первого:

1) - 2 - x = x - 2 ; 2) 2 - x = x - 2 ; 3) - 2 - x = x - 2 . Ответ: 3.

                                                                                          

 

x -1

x -1

1 - x

x -1

1 - x

1 - x

6. В какой многочлен можно преобразовать выражение (a - 3)2 - 2a(a - 3) ?

1) - a 2 - 12

2) - a 2 + 6a - 9

3) - a 2 + 3a + 9

4) 9 - a 2

Решение. (a - 3)² - 2a(a - 3) = a² - 6a + 9 - 2a² + 6a = 9 - a² . Ответ: 4.

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 7) В какое из приведенных ниже выражений можно преобразовать произведение (x - 4)(x - 2) ?

1) (x - 4)(2 - x)

2) - (x - 4)(2 - x)

3) (4 - x)(x - 2)

4) - (4 - x)(2 - x)

2 Какое из следующих выражений тождественно равно произведению (х - 8)(x- 3)? 1) (х - 8)(3 - х) ;                         2) (8-х)(3-х);          3) (8 - х)(х - 3);                4) -(х - 8)(х - 3)

3. Преобразуйте в многочлен выражение (a - 1)3 + 2a(3a - 4) . Ответ:                      

4. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение (4 - y)2 (2 - y) ?

1) - ( y - 4)2 ( y - 2) ; 2) - (4 - y)2 ( y - 2) ; 3) ( y - 4)2 (2 - y)      4) ( y - 4)2 ( y - 2)

5. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) 3(x - y) = 3x - y

3) (x - y)2 = x 2 - y 2

2) (3 + x)(x - 3) = 9 - x 2

4) (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9

6. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) (a + b)2 = a 2 + b2

3) (x - y)2 = x 2 - y 2

7. Упростите выражение 6x + 3(x -1)2 .

2) - (a + b)(b - a) = b2 - a 2

4) (x + 3)2 = x 2 + 6x + 9

1) 3x 2 + 3

3) 9x2 - 6x + 9

2) 3x 2 + 1

4) 3x 2 + 6x - 3

8. Упростите выражение 4(1 - a)2 + 8a .

1) 16a 2 - 24a + 16

3) 4a 2 + 4

9. В выражении 4a² - 6ab

1) - 2a(2a - 3b)

3) - 2a(3b - 2a)

10. В выражении 9ab - 6b²

1) - 3b(2b - 3a)

3) - 3b(3a - 2b)

2) 4 + 8x - 4a 2

4) a 2 + 4

вынесите за скобки множитель - 2a .

2) - 2a(2a - 6b)

4) - 2a(6b - 2a)

вынесите за скобки множитель – 3b 2) - 3b(3a - 6b)

4) - 3b(6b - 3a)

11. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена: 2x 2 + 5x - 3 = (x + 3)(...) .

Ответ:                      

12. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена: 3x 2 - 5x - 2 = (x - 2)(...) .

Ответ:                      

13. В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) (x - 2) y = x - 2 y

2) (x + y)( y - x) = x2 - y 2

3) (2 - x)2 = 4 - 4x + x2

4) (x + y)2 = x2 + y 2

14. Какое из следующих выражений тождественно равно произведению (2 - x)(3 - x) ?

1) (x - 2)(3 - x)

3) (x - 2)(x - 3)

2) (2 - x)(x - 3)

4) - (x - 2)(x - 3)

15. Какое из выражений нельзя преобразовать в произведение (m -1)2 (m - 3) ?

1) - (m -1)2 (3 - m)

2) - (1 - m)2 (3 - m)

3) (1 - m)2 (3 - m)

4) (1 - m)2 (m - 3)

Вернуться в содержание

Тема 8 Преобразование рациональных выражений

Действия с алгебраическими дробями

Теория