Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными

Теория                                                                       Практика

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений.

ний перемен- ние системы в Р переменными x П

Решением системы двух уравнений с двумя пе- ременными является пара значе

ных, обращающая каждое уравне

1. Решим систему уравнений

ìx² - 3xy - 2 y² = 2,

1. уравнения пере   ие вместо x выра

í

îx + 2 y =

  ешение: Выразим из второго                      менную

верное числовое равенство.

через y:

x = 1 - 2 y .

Системы уравнений с двумя

можно решать: а) графическим способом; б) способом подстановки;

ния). от уравнений, П

в) способом сложения (вычита Выбор способа решения зависит входящих в систему.

Графический способ применим к решению

одставим в первое уравнен                       жение

1 - 2 y , получим уравнение с переменной y:

2 y2 = 2 . ильное урав .

(1 - 2 y)² - 3(1 - 2 y) y -

осле упрощения получим равнос               нение

8 y² - 7 y -1 = 0

ть решения ые решения и. В этом ординаты в

любой системы, но с помощью графиков урав- нений можно приближенно находи

системы. Лишь некоторые найденн

 

Решив его, найдем, что

y = - 1 ,                 ставив в

y2 = 1. Под   лучим:

1

8

системы могут оказаться точным можно убедиться, подставив их ко уравнения системы.

формулу

x = 1 - 2 y

11 . 4 мулу x = 1 - 2 y ; y2 = 1, п

1

y = - 1 , по

1      8

Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом:

1.Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую.

x1 = 1 - 2 × (- 8) =

Подставив в фор                                          олучим:

x2 = 1 - 2 ×1 = -1.;Итак система имеет два решения:

2.Подставляют полученное выражение в урав- нение второй степени

3.Решают получившееся уравнение.

x = 11 ,

1    4

y = - 1

1      8

и x2 = -1,

1

y2 = 1.Ответ можно

;- ) , (-1;1) . 8 равнений втор найти ее реше

1

4.

чения  второй   льзоваться в истемы  есть

Находят соответствующие зна переменной.

Способом сложения лучше по случае, когда оба уравнения с уравнения второй степени.

записать также в виде пар: (1

4

Если система состоит из двух у                    ой сте-

пени с двумя переменными, то                    ния обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подста- новки или способ сложения.

 

2. Решим систему уравнений

= 5,

ìx ² - y ²

í

îxy = 6.

Р   п

торого урав   дставим в п

  ешение: Т.К. x ¹ 0 , выразим из в               нения

 

еременную y через x:

y = 6 .; По               ервое

x

6

x ельно x: x2 -

уравнение вместо y выражение .

 

 

Получим уравнение относит

 

æ 6 ö²

= 5

ç ÷   .

x1 = -3, x2 = 3.

è x ø

 

По формуле

y = 6 находим y:

x

y1 = -2 , y2 = 2 .

Значит, система имеет два решения:

x1 = -3 , y1 = -2 и x2 = 3, y2 = 2 .

Ответ: (-3;-2) , (3;2) .

 

3. Вычислите координаты точки В.

Решение. Точка В является пересечением прямых

2x - 3y = -8 и x - 4 y = -5 . Решив систему

ì2x - 3y = -8

î

íx - 4 y = -5

, найдем, что

x = -3,4 ;

y = 0,4 .

 

Ответ: В(-3,4;0,4).

 

í

ìxy = -12

4. Решите систему уравнений                                                           .

î(x - 2)( y - 4) = -8

Решение. Преобразуем второе уравнение системы

(x - 2)( y - 4) = -8 к виду xy - 2 y - 4x + 8 = -8 .

Подставим в него

xy = -12 . Выполнив преобразова-

ния, получим систему:

ìxy = -12

î

í2x + y = 2 .

Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4).

 

Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом

виде:

x1 = -2 ,

y1 = 6 ,

x2 = 3,

y2 = -4 , или

ìx1 = -2 ìx2 = 3

í y = 6 и í y = -4 .

î 1               î  2

Другое возможное решение. Выразим из первого уравнения одну из переменных через другую, напри-

мер,

y = -12

x

. Подставим

y = -12

x

во второе урав-

нение системы, получим уравнение

12

(x - 2)( + 4) = 8 . После преобразований получим

x

квадратное уравнение x² - x - 6 = 0 .

Найдем корни данного уравнения и соответствующие значения y, получим: (-2;6), (3;-4).

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 10) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением

 

x² + y ² = 1.

Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.

ìx² + y ² = 1

А) í

î y = -x

ìx² + y ² = 1

Б) í

î y = x - 2

ìx² + y ² = 1

В) í

î y = -1

Ответ:

1) Система имеет одно решение

 

 

2) Система имеет два решения

 

 

3) Система не имеет решений

 

 

2.

А Б В

Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображе- ния). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.

í

ì y = 6

А) ï x

1) Нет решений

ïî y = -x²

ï

ì y = 6

Б) í x

2) Одно решение

ïî y = -3x

í

ì y = 6

В) ï x

3) Два решения

ïî y = 3x

А Б В

Ответ:

 

 

3. Вычислите координаты точки В. Ответ:      

 

 

4. На рисунке изображен график функции

А.

y = 2x² + 3x - 2 . Вычислите абсциссу точки

Ответ:            

5. На рисунке изображен график функции точки А.

Ответ:            

y = -3x² - 5x + 2 . Вычислите абсциссу

 

ì2x - 3y = 5,

6.

î

Решите систему уравнений: íx - 6 y = -2.

Ответ:            

 

7 -10. Решите способом подстановки систему уравнений:

íïx = y + 3.

7.  ìï y 2  - x = -1,

î

ì y = x - 1,

î

9. íx² - 2 y = 26.

ìxy + x = -4,

î

8. íx - y = 6.

ìx + y = 9,

î

10. í y ² + x = 29.

ìx + y = 2,

11.

î

Решите систему уравнений: íxy = -15. 1) (5;-3), (-5;3)  2) (-5;7), (3;-1) 3) (5;-3), (-3;5) 4) (-5;7), (5;-7)

 

ìxy = 12,

12.

î

Решите систему уравнений: íx - y = 4.

1) (6;2), (-6;-2)       2) (-2;-6), (6;2)

3) (6;-2), (2;-6)       4) (-6;-10), (2;-2)

 

13. Для каждой системы уравнений определите число ее решений (используйте графические сообра- жения).

В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.

ì y = 1

 

ì y = 1

 

ì y = 1

ï            ï

í

А) í x Б)

x В) ï x

ïî y = -x

ïî y = x³    ïî y = -x²

1)

í

Два решения    2) Одно решение 3) Нет решений

 

Ответ:

А	Б	В

 

14. На рисунке изображен график функции у = 5х² + 14х - 3. Вычислите абсцис- су точки А.

 

 

Ответ:                      

 

15.

í

Решите систему уравнений: ì2x + y = -11, . Ответ:                

î3x - 5 y = 16

Вернуться в содержание

Тема 11 Составление уравнения по условию текстовой задачи

Теория

Практика

Решение сложных задач целесооб- разно начать с повторения алго- ритма решения системы уравне- ний с 2-мя неизвестными: -Обозначить неизвестную величи- ну переменной (при решении зада- чи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие вели- чины; -Составить уравнение (или систе- му уравнений), показывающее за- висимость неизвестной величины от других величин; -Решить уравнение (или систему уравнений); -Сделать проверку при необходи- мости; -Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи; -Оформить ответ. 2. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что v ïîòå÷  = v ñîá + v ò . ð. , v ïðîòèâòå÷ = v ñîá - v ò . ð. где: v ïîòå÷ – скорость по течению ре- ки; v ïðîòèâòå÷ – скорость объекта при движении против течения реки; v ñîá – собственная скорость дви- жущегося объекта; v ò . ð. – скорость течения реки.

1. Расстояние между двумя причалами по реке 14 км. На путь против течения реки лодка затратила на 1 ч больше, чем на об- ратный путь по течению. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч. Обозначьте буквой х собственную скорость лодки (в км/ч) и со- ставьте уравнение по условию задачи. 1) 14(x - 2) -1 = 14(x + 2)  2) 14 -  14 = 1 x - 2 x + 2 14  14 3)       -    = 1 4)14(x + 2) -14(x - 2) = 1 x + 2 x - 2 Решение. x (км/ч) — собственная скорость лодки, тогда x + 2 (км/ч) — скорость по течению, x - 2 (км/ч) — скорость против течения. Расстояние между причалами 14 км, следовательно, 14 x + 2 (ч) — время движения лодки по течению; 14 x - 2 (ч) — время движения лодки против течения. Время движения лодки против течения больше, чем по течению, 14  14 на 1 час, поэтому составим уравнение:       -    = 1. x - 2 x + 2 Ответ: 2. 2. Прочитайте задачу: «От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 5 ч. На мопеде он мог бы проехать это расстояние за 3 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью на 8 км/ч больше, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?» Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции. x x 1) 5(x - 8) = 3x          3) - = 8 3 5 x x 2) 5x = 3(x + 8)          4) - = 8 5 3 Решение. Пусть х км — расстояние от турбазы до станции. Тогда x                                                                          x км/ч — скорость, с которой турист едет на велосипеде; 5                                                                           3 км/ч — скорость, с которой турист едет на мопеде. Известно, что скорость на мопеде на 8 км/ч больше скорости на велосипеде: x x запишем уравнение - = 8. 3 5 Уравнение может быть записано и в другом виде, например, x + 8 = x , но его легко преобразовать к виду: x - x = 8. 5 3                                               3 5 Ответ: 3.

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 11) Прочитайте задачу: «Фотография имеет форму прямоугольника со сторона- ми 10 см и 15 см. Ее наклеили на белую бумагу так, что вокруг всей фотографии получилась белая окантовка одной и той же ширины. Площадь, которую занимает фотография с окантовкой, равна 500 см². Какова ширина окантовки?».

Пусть ширина окантовки равна х см. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) (10 + 2x)(15 + 2x) = 500

2) (10 + x)(15 + x) = 500

3) 10 ×15 + (10x + 15x) × 2 = 500

4) (10 + 2x)(15 + x) = 500

 

2. Прочитайте задачу.

Расстояние между двумя пристанями 24 км. Лодка проплыла от одной пристани до другой и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов.

Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.Обозначьте буквой х соб- ственную скорость лодки (в км/ч) и составьте уравнение по условию задачи.

1) 24 +

24 = 5 2)

24 =

24 - 5

3) x + 2 + x - 2 = 5

        

x + 2

x - 2

x + 2

x - 2

24   24

 

3. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины его смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со- ответствует условию задачи?

ìa + b = 10

î

1) ía : b = 3 : 2

ì2(a + b) = 20

ï

ì2(a + b) = 20

î

3) í2a = 3b

ìa + b = 10

2) ía 3

4) í

ïîb = 2

î3a = 2b

4. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со- ответствует условию задачи?

ìa + b = 10

ï

1) ía = 3

 

            

ìa + b = 5

2) í2a = 3b

ì2(a + b) = 10

3) í2a = 3b

ì2(a + b) = 10

ï

4) ía = 3

ïîb 2             î              î                             ïîb 2

5. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со- ответствует условию задачи?

ìa + b = 15

ï

ï

1) ía = 4

îb

ìa + b = 15

î

2) ía = 4b

ì2(a + b) = 30

î

3) í4a = b

ì2(a + b) = 30

î

4) ía = 4b

6. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины его смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со- ответствует условию задачи?

ìa + b = 5

ï

ìa + b = 5

ì2(a + b) = 10

ì2(a + b) = 10

ï

1) ía

2) í

3) í

4) ía 4

ïîb  = 4

îb = 4a

îa = 4b

ïîb = 1

7. Прочитайте задачу: «В трех группах детского сада 70 детей. В старшей группе в 3 раза меньше, чем в старшей. Сколько детей в старшей группе?»

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число детей в старшей группе?

1) x + (x + 15) + 3(x + 15) = 70

x

2) x +

x + ( x

3 3

+ 15) = 70

3) x +

+ (x + 15) = 70

3

4) x + 3x + (x + 15) = 70

8. Прочитайте задачу: «Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины его смежных сторон относятся как 2 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника».

Пусть a и b – стороны прямоугольника, причем a – большая сторона. Какая система уравнений не со- ответствует условию задачи?

ìa + b = 15

ìa + b = 15

ï

ì2a + 2b = 30

ìa + b = 30

ï

î

1) ía : b = 2 :1

2) í a b =

ï

î 2

3) ía = 2b

4) ía = 2

ï

îb

9.

î

Прочитайте задачу: «В первый день школьник прочитал 29 страниц, во второй – 34 страницы, и вместе это составило 0,3 числа страниц в книге. Сколько страниц в книге?»

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначено число страниц в книге?

0,3

1)

x

= 29 + 34

2) 0,3x = 29 + 34 3)

x = 0,3 × (29 + 34) 4)

x

0,3

= 29 + 34

10. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дере- ва, а каждый мальчик – по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева, Сколько в классе девочек? Пусть в классе х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. (25 - x)2 = 3(63 - x) Б. 2x = 63 В. 3(25 - x) = 2x Г. 2x + 3(25 - x) = 63

11. В спортивной секции занимается 26 детей. Каждая девочка имеет по 2 медали, а каждый мальчик – по 3 медали. Всего мальчики и девочки имеют 68 медалей. Сколько в секции занимается мальчиков? Пусть в секции х мальчиков. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. 2(x + 26) = 68 - x  Б. 2x + 3(26 - x) = 68

В. 68 - 2x = x + 3      Г. 2(26 - x) + 3x = 68

12. В кружке занимается 20 детей. К празднику каждая девочка сделала по 4 сувенира, а каждый маль- чик – по 3 сувенира. Всего было сделано 72 сувенира. Сколько в кружке занималось девочек?

Пусть в кружке х девочек. Какое уравнение соответствует условию задачи?

А. 4(20 - x) + 3x = 72

В. (72 - 4x)3 = 20

Б. 72 - 7x = 20

Г. 4x + 3(20 - x) = 72

Вернуться в содержание

Тема 12 Понимание формулы n-го члена арифметической прогрессии

Теория

Практика

Прогрессии 1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией. Число d – разность прогрессии. a n = a n -1 + d ; d = a n - a n -1 Формула n-го члена: a n = a1 + (n - 1)d Свойство прогрессии: a = a n  + k + a n  - k n               2 Сумма n-членов: S = a1 + a n × n или n         2 S = 2a1 + (n - 1)d × n n                  2 2. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число q, называется геометрической про- грессией. Число q – знаменатель прогрессии. b  = b × q ; q = b n n    n -1                b n  -1 Формула n-го члена: b n = b1 × qn-1 Свойство прогрессии: b n  = b n  + k × b n  - k b1 × (1 - qn ) Сумма n-членов: S n  = 1 - q , q ¹ 1 Если | q |< 1, то прогрессия называется беско- нечно убывающей геометрической прогресси- ей. S = b1 1 - q

1. Последовательность ( c n  ) - арифметическая про- грессия, в которой c1 = 0,62 и d = 0,24 . Найдем пятидесятый член этой прогрессии. Имеем: c50 = 0,62 + 0,24 × (50 - 1) = 12,38 . 2. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1 = 1, b n +1 = 3b n . Какое из данных чисел является членом данной прогрессии? 1) 6 2) 12 3) 24 4) 27 Решение: Выпишем несколько первых членов про- грессии: 3, 9, 27; число 27 является ее членом. Ответ: 4. Другой способ. Если заметить, что члены прогрессии — это степени числа 3, то можно сразу указать ответ, так как среди приведенных чисел, 27 является един- ственным числом, отвечающим этому условию. (-1)n 3. Формулой n-го члена cn = n задана последо- вательность, какое из следующих чисел не является ее членом: А) -1   Б) - 1     В) - 1     Г) - 1 . 3            5            6 Решение: можно непосредственно вычислять один за другим члены последовательности — (-1)1            (-1)2 1 Получим c1 = 1 = -1, c2 = 2 = 2 , (-1)3  1     (-1)4 1 c3 = 3 = - 3 , c4 = 4 = 4 , (-1)5  1 c5 = 5 = - 5 . первые три указанных числа яв- ляются членами последовательности, а это означает, что верный ответ дан под буквой Г. Можно «для убе- (-1)6 1 дительности» найти и c6 = 6 = 6 , т.е. число - 1 действительно не является членом последова- 6 тельности.

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 12) Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a25 < 0

1) a n = 2n

2) a n = -2n + 50

3) a n = -2n + 100

4) a n = 2n - 100

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая про-

грессия. Укажите ее. 1) 1;

1 ; 1 ;

2  3

1 ;... 2) 1,2,4,8 3) 1;3;5;7;...

4

4) 1;2;3;5;...

3. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1 = 1, b n +1 = 3b n . Какое из данных чисел является членом данной прогрессии? 1) 6  2) 12 3) 24       4) 27

4. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность d.

А) a n = 4n + 3  Б) b n = 2n + 4

В) c n = 3n - 2

1) d = -2 2) d = 4

Ответ:

3) d = 2

4) d = 3

А

Б

В

5. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность d.

А) a n = 4n + 3  Б) b n = 3n + 2

В) c n = 2n - 4

 

Ответ:

1) d = -4 2) d = 4

3) d = 2

4) d = 3

А	Б	В

6. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1 = 1, b n +1 = 2b n . Какое из данных чисел является

членом данной прогрессии?

1) 10 2) 16 3) 18 4) 24

7. Геометрическая прогрессия задана условиями: b1 = 1, b n +1 = 3b n . Какое из данных чисел является членом данной прогрессии?

1) 27 2) 22 3) 15 4) 12

8. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — геометрическая про- грессия. Укажите ее.

1) 1;

1 ; 1 ;

2  3

1 ;...

4

3) 1;3;5;7;...

2) 1;2;4;8;...     4) 1;2;3;5;...

9. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии, заданной формулой а_n= 2n+1. А. -10     Б. 0 В. 11 Г. 8

10.Найдите десятый член арифметической прогрессии 3; 1;….

А. 21   Б. 20 В. - 15 Г. - 20

11. Найдите сумму одиннадцати первых членов арифметической прогрессии, если

а₁= - 5, d= - 3

А. - 220 Б. -200 В. -150 Г. -100

12. Найдите первый член арифметической прогрессии, если разность равна 2, а двадцатый член этой прогрессии равен.28.

А. -5; Б, 4; В. -10; Г. 0

13. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии, заданной формулой а_n= 3n - 1. А.13 Б. 0     В.8 Г. - 8

14. Найдите восьмой член арифметической прогрессии -3; 2;…. А. 21 Б. 32 В. - 16 Г. - 20

15. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии, если а₁=4, d= - 5

А. 220 Б. -275 В. -150 Г. -465

Вернуться в содержание