Критерии оценки выполнения задания

2                Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.

1                Ход решения правильный, многочлен в левой части уравнения разложен на множители, но при этом допущена ошибка в знаке, например, получен дву- член , ответ дан с учетом этой ошибки. 24x+

Или: допущена описка на последнем шаге.

0                Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Модель 2 Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2                Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.

1                Ход решения правильный, многочлен в левой части уравнения разложен на множители, но при этом допущена ошибка в знаке, например, получен дву- член , ответ дан с учетом этой ошибки. Или: допущена описка на последнем шаге. 24x+

0                Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

 

Вернуться в содержание

Тема 18 Решение линейного неравенства с одной переменной с исполь- зованием сравнения квадратного корня с рациональным числом

Теория

Практика

12 - 2a 1 - 5a 1. Решите неравенство            -      > 0 4    5 Решение. Умножим обе части неравенства 12 - 2a - 1 - 5a > 0 на 20, получим неравенство 4       5 5(12 - 2a) - 4(1 - 5a) > 0 . Решив его, получим a > -5,6 . Наименьшее целое значение а, удовле- творяющее этому неравенству, равно -5. Ответ: -5. 2. Решите неравенство ( 19 - 4,5)(5 - 3x) > 0 . Решение: 1) Определим знак разности 19 - 4,5 . Так как 4,5 =      20,25 и 20,25 >                 19 , то 19 - 4,5 < 0 . 2) Получаем неравенство (5 - 3x) < 0 . Отсюда x > 12 . 3 2 Ответ: (1 ;+¥) . Другая возможная форма отве- 3 2 та: x > 1 3

Модель 1 Баллы

Критерии оценки выполнения задания

4              Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.

3              Ход решения верный, правильно выполнен первый шаг, но при решении линейного неравенства допущена вычислительная ошибка или описка.

0              Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Модель 2 Баллы

Критерии оценки выполнения задания

3              Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный ответ.

2              Ход решения верный, правильно выполнен первый шаг, но при решении линейного неравенства допущена вычислительная ошибка или описка.

1              Знак разности определен правильно, но при дальнейшем решении знак не- равенства не изменен, и с учетом этого получившееся неравенство решено верно.

Или: знак разности определен неправильно, и с учетом этого дальнейшие шаги выполнены правильно.

0              Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Реши сам

1. Укажите число целых решений неравенств: (2x - 1) 2 - 3(2x - 1) < 0 .

2. Решите неравенство ( 3 -

2

3. Решите неравенство ( 5 -

2

4. Решите неравенство (

3)(16 - x 2 ) > 0 .

 

6)(10 - 4x) > 0 .

- 2,5)(9 - x2 ) > 0 .

 

 

5. Решите неравенство

(x - 4)(x + 2) 2 7 - x

 

³ 0 .

6. Укажите число целых решений неравенства (x - 1) 2 - 6(x - 1) + 5 < 0 .

 

7. Найдите область определения функции y =

+   4

16 - x 2

8. При каких значениях a неравенство

x 2 - (2a + 2)x + 3a + 7 > 0 выполняется при всех значениях х?

9. Решите неравенство (

- 5 )(3 - 2x) < 0

2

 

10. Найдите область определения выражения

x2 - 4

11. Найдите наибольшее целое значение n, при котором разность (3-2n)-(8-1,5n) положительна.

12. Найдите наибольшее целое значение n, при котором разность (7n-3)-(9+2n) отрицательна

13. Решите неравенство (2,5 - 6)(10 - 3x) < 0

 

Вернуться в содержание

Тема 19 Решение задачи с использованием формулы n-го члена геомет- рической прогрессии .

Теория

Практика

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыду- щему, умноженному на одно и тоже число q, называется геометрической прогрессией. Число q – знаменатель прогрессии. b  = b × q ; q = b n n n -1                b n  -1 Формула n-го члена: b n = b1 × qn-1 Свойство прогрессии: b n  = b n  + k × b n  - k b1 × (1 - qn ) Сумма n-членов: S n  = 1 - q , q ¹ 1 Если | q |< 1, то прогрессия называется бесконеч- но убывающей геометрической прогрессией. S = b1 1 - q

1. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второго и тре- тьего членов равна 135. Найдите первые три чле- на этой прогрессии. Решение. 1) Пусть ( h n ) - данная геометрическая прогрес- сия. Составим систему ìh1 + h1q = 108 í                    . îh1q + h1q2 = 135 ìh1(1 + q) = 108 ìh1 (1 + q) = 108 Далее: íh q(1 + q) = 135 , íq ×108 = 135 . От- î 1                                 î сюда q = 5 , h = 48. 4 1 2) h = 48 × 5 = 60 , h = 60 × 5 = 75 2            4       3            4 Ответ: 48, 60, 75. 2. (Демо ). В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма вто- рого и третьего членов равна 135. Найдите первые три члена этой прогрессии. Решение. 1) Пусть ( h n ) - данная геометрическая прогрессия. Составим систему ìh1 + h1q = 108 í                    . îh1q + h1q2 = 135 ìh1(1 + q) = 108 ìh1 (1 + q) = 108 Далее: íh q(1 + q) = 135 , íq ×108 = 135 . От- î 1                                 î 5 сюда q = , h1 = 48. 4 5                  5 2) h2 = 48 × 4 = 60 , h3 = 60 × 4 = 75 Ответ: 48, 60, 75.

Модель 1 Баллы     Критерии оценки выполнения задания

4                               Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный от- вет.

3                               Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена од- на вычислительная ошибка и ответ отличается от правильного.

0                               Другие случаи, не соответствующие указанным критериям Модель 2 Баллы Критерии оценки выполнения задания

3                               Ход решения верный, оба его шага выполнены, получен верный от- вет.

2                               Ход решения верный, решение доведено до конца, но допущена од- на вычислительная ошибка или описка и ответ отличается от пра- вильного.

1                               Верно найдены и первый член прогрессии, но решение не заверше- но. q

Или: ход решения верный, но допущены две вычислительные ошибки или описки.

0                               Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

 

Реши сам:

1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных пяти и меньших 200.

2. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 40, знаменатель прогрессии равен

3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных трем и не превосходящих 150.

4. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен -4. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

5. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 60, а сумма второго и третьего членов равна 84. Найдите первые три члена этой прогрессии

6. В геометрической прогрессии b2 = -6 , b5 = 48 . Является ли членом этой прогрессии число 192? 7.Найдите сумму всех отрицательных целых чисел, кратных трем и

больших - 170.

8.Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна - 61, знаменатель прогрессии равен -3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

9.Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен -4. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

10. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые не делятся на 5.

11. В геометрической прогрессии b3 = 3 , b6 = 12 . Есть ли среди членов этой прогрессии число 144?

2

12. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ее четвертый член равен

1 , а знаменатель равен 1 . 24                   2

13. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если ее пятый член равен знаменатель равен - 2 .

3 , а

4

14. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 36, а сумма второго и пятого

членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 124?

15. Разность пятого и первого членов геометрической прогрессии равна 80, а разность шестого и вто- рого членов равна 240. Сколько членов этой прогрессии нужно сложить, чтобы их сумма была равна 364?

Вернуться в содержание

Тема 20 Аналитическая запись кусочно-заданной функции по ее графи- ку

Теория

Практика

Квадратичная функция Линейная функция Обратная пропоциональность. Функция у= õ Полезно вспомнить: Решение сложных задач целе- сообразно начать с повторе- ния алгоритма решения си- стемы уравнений с 2-мя неиз- вестными: -Обозначить неизвестную ве- личину переменной (при реше- нии задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие ве- личины; -Составить уравнение (или си- стему уравнений), показываю- щее зависимость неизвестной величины от других величин; -Решить уравнение (или систе- му уравнений); -Сделать проверку при необхо- димости;

1. Прямая y = -3x + b касается окружности x 2 + y 2 = 40 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки каса- ния. Решение. 1) Найдем значения b, при которых система ì y = -3x + b í               имеет единственное решение. Выполнив подста- îx2 + y 2 = 40 новку, получим уравнение x2 + (-3x + b)2 = 40 , т.е. 10x2 - 6xb + b2 - 40 = 0 . 2) Плученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем: D = 9b2 - 10(b2 - 40) = 400 - b2 . Решив уравнение 400 - b2 = 0 , получим: b = ±20 . 3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: y = -3x - 20 и y = -3x + 20 . Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение 10x2 - 6xb + b2 - 40 = 0 : при b = -20 получим уравнение x2 + 12x + 36 = 0 , откуда x = -6 ; этот корень не удовлетворяет условию задачи; при b = 20 получим уравнение x2 - 12x + 36 = 0 , откуда x = 6 ; этот корень удовлетворяет условию задачи; Найдем соответствующее значение y: y = -3x + 20 = -3 × 6 + 20 = 2 . Координаты точки касания: (6;2). Ответ: (6;2). 2. Прямая 2x + 3y = c , где с — некоторое число, касается гипербо- 6 лы  y = в точке с отрицательными координатами. Найдите с. x 2 c Решение. Из уравнения 2x + 3y = c выразим y: y = - x + . 3 3 2 c     6 Графики функций y = - x + и  y = имеют единственную 3 3     x общую точку в том и только том случае, если уравнение - 2 x + c = 6 имеет один корень. 3 3 x Получаем: 2x2 - cx + 18 = 0 ; D = c2 - 144 = 0 ; c = ±12 . Так как точка касания имеет отрицательные координаты, то c < 0 (учащие- ся могут прийти к этому выводу хотя бы из геометрических сооб- ражений). Поэтому, условию задачи удовлетворяет только c = -12 2 (в этом случае получаем прямую y = - x - 4 , которая касается 3

-Выбрать из решений (или си- стему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи;

-Оформить ответ.

 

 

При решении систем: Способ подстановки применим при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно пом-

ветви гиперболы, расположенной в третьей четверти, т.е. в точке с отрицательными координатами).

Комментарий. Подробное обоснование, почему выбрано значение

c < 0 , не требуется. Возможно наличие схематичного рисунка. Ответ: c = -12 .

3. Прямая y = -3x + b касается окружности x ² + y ² = 10 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки каса- ния.

Решение. 1) Найдем значения b, при которых система

î

ì y = -3x + b

нить алгоритм решения этим способом:

íx² + y ² = 10

имеет единственное решение. Выполнив подста-

1. Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую.

2. Подставляют полученное вы- ражение в уравнение второй степени

3. Решают получившееся урав- нение.

4. Находят соответствующие значения второй переменной.

новку, получим уравнение x² + (-3x + b)² = 10 , т.е.

10x² - 6xb + b² - 10 = 0 .

2) Плученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю. Имеем:

D : 4 = 9b² - 10(b² - 10) = 100 - b² . Решив уравнение

100 - b² = 0 , получим: b = ±10 .

3) Таким образом, получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: y = -3x + 10 и y = -3x - 10 .

Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение 10x² - 6xb + b² - 10 = 0 :

при b = -10

получим уравнение

x² + 6x + 9 = 0 , откуда

x = -3 ;

этот корень не удовлетворяет условию задачи;

при b = 10 получим уравнение

x² - 6x + 9 = 0 , откуда

x = 3 ;

этот корень удовлетворяет условию задачи; Найдем соответствующее значение y:

y = -3x + 10 = -3 × 3 + 10 = 1.

Координаты точки касания: (3;1).

Ответ: (3;1). Замечание. Выбрать касательную, удовлетворяющую условию задачи, можно и из графических соображений. Для этого достаточно схематически изобразить окружность и две прямые.

 

Модель 1 Баллы    Критерии оценки выполнения задания

6                               Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.

5                               Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вы- числительная ошибка или описка.

0                               Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. Модель 2 Баллы Критерии оценки выполнения задания

4                               Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.

3                               Ход решения верный, все его шаги выполнены, но допущена вы- числительная ошибка или описка.

2                               Значение с выбрано неверно.

1                               Указаны значения с = ±12.

0                               Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

 

Реши сам:

1. Найдите все значения k, при которых прямая функции

y = kx

пересекает в трех различных точках график

ì3x + 7, если x < -3

í

ï-2, если - 3 £ x £ 3 .

î

ï3x - 11, если x > 3

2. При каких отрицательных значениях k прямая точках?

y = kx - 4

пересекает параболу

y = x² - 2x

в двух

3. При каких отрицательных значениях k прямая ся?

y = kx - 4

и парабола

y = x² + 3x не пересекают-

 

 

4. Постройте график функции:

ì

ï- x 2 - 4x - 3, если x £ 1

í

y = ïx + 1, если -1 < x £ 1

ï 2

ï , если x > 1

î x

При каких значениях m прямая

y = m имеет с графиком этой функции две общие точки?

 

 

5. Постройте график функции:

ì 4 , если x £ -2

ï x

ï

y = íx, если - 2 < x £ 1

ï

ïx 2 - 4x + 4, если x > 1

î

При каких значениях m прямая

y = m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

6. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-5;-6) и В(-5;а) пересекает прямую

2x - y = -3 ?

7. При каких значениях а отрезок с концами в точках А(-3;a) и В(-3;-8) пересекает прямую

2x - y = 3 ?

Вернуться в содержание

Тема 21 Решение текстовых задач

Теория

Практика

Задачи на движение. При решении задач на движение используется одна из трех формул: S = v × t , v = S , t = S . Необходимо t     v помнить, что величины должны быть в одной системе единиц, что большую помощь может оказать рисунок, гра- фик, таблица. Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что v ïîòå÷ = v ñîá + v ò . ð. , v ïðîòèâòå÷ = v ñîá - v ò . ð. где: v ïîòå÷ – скорость по течению реки; v ïðîòèâòå÷      – скорость объекта при движении против течения реки; v ñîá – собственная скорость движу- щегося объекта; v ò . ð. – скорость течения реки. Решать их желательно, используя схемы или таблицы. Задачи на бассейны и трубы. Такие задачи фактически являются задачами на движение. Работа или объем бас- сейна есть, условно говоря, путь, пройденный точкой; производитель- ность, с которой выполняется работа или наполняется бассейн есть ско- рость. Решение сложных задач целесообраз- но начать с повторения алгоритма решения системы уравнений с 2-мя неизвестными: -Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных); -Выразить через нее другие величины; -Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависи- мость неизвестной величины от дру- гих величин; -Решить уравнение (или систему уравнений); -Сделать проверку при необходимо- сти; -Выбрать из решений (или систему

1. Из сосуда, доверху наполненного 88%-м раствором кисло- ты, отлили 2,5 литра жидкости и долили 2,5 литра 60%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 80%-й раствор кислоты. Найдите вместимость сосуда в лит- рах. Решение. Пусть х (литров) – вместимость сосуда. 1) Т.к. сосуд был доверху наполнен 88%-м раствором кисло- ты, то кислоты в нем было 0,88х литров, а воды – 0,12х. 2) В 2,5 литрах жидкости содержится 2,5 × 0,88 = 2,2 литра кислоты и 0,3 литра воды. 3) В 2,5 литрах 60%-го раствора этой же кислоты будет 2,5 × 0,6 = 1,5 литра кислоты и 1 литр воды. 4) Когда из первоначального сосуда отлили 2,5 л жидкости и долили 2,5 литров 60% раствора кислоты, то получилось 0,88x - 2,2 + 1,5 литров кислоты и 0,12x - 0,3 + 1 воды. 5) Т.к. в результате получается 80%-й раствор кислоты, то в нем будет 80% кислоты и 20% воды, т.е. выполняется условие 0,88x - 2,2 + 1,5 = 4(0,12x - 0,3 + 1) . Решая это уравнение, по- лучим x = 8,75 литров – вместимость сосуда. Ответ: 8,75. 2. Расстояние между городами А и В равно 900 км. Два поез- да одновременно отправляются, один из А в В, другой из В в А. Они встречаются в пункте С. Первый поезд прибывает в город В через 4 часа после встречи со вторым поездом, в вто- рой прибывает в город А через 16 часов после встречи с пер- вым поездом. Определите расстояние АС. Решение. Расстояние от А до С в 2 раза больше расстояния от С до В. Добавим участок от А до Д, тогда tАД=4 (часа). АВ поделим на 3 равных участка. 900:3=300 км, т.е. AД=ДC=CB=300км. Итак, АС=AД+ДC=600 км. Ответ: 600. 3. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В пер- вом сплаве содержится 35%, а во втором — 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота? Решение. Пусть х — масса первого сплава, y — масса второго сплава. Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0,3х, а во втором — 0,55у. Масса нового сплава равна x + y , а количество золота в нем составляет 0,4(x + y) . Получим уравнение 0,3x + 0,55 y = 0,4(x + y) . Преобразуем уравнение, получим: 30x + 55 y = 40x + 40 y , 6x + 11y = 8x + 8 y , 3y = 2x . Отсюда: x : y = 3 : 2 . Ответ: в отношении 3:2. Ответ может быть дан и в другом ви-

уравнений) те которые подходят  по                       x 3

смыслу задачи;

-Оформить ответ.

Полезно вспомнить:

Задачи на проценты. Основным по- нятием является часть числа, если за- дана величина a , то ее k -я часть рав- на k × a , и определение : Процентом называется одна сотая часть вели-

чины 1% = 1 = 0,01, то есть 1%

де, например = .

y 2

4. И пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пунк- та В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и по- плыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к мо- менту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки? Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4x - x = 3x км/ч, а по

100

течению 4x + x = 5x км/ч. Следовательно, скорость катера

= 1/100 от целого. Значит, целое со- ставляет 100%.

Например: 39% = 0,39 ; 0,9 = 90%

против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению

- в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи про- плыл  S  км, то катер — в 3 раза больше, т.е. 3S  км. После

17,5% = 0,175