С надеждой на понимание, ваш друг, Е.Н. Кочкина.

2019-08-14

282

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Вернуться в содержание

Тема 1 Владение записью чисел в стандартном виде

Теория

Практика

В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень малые положительные числа. Например, большим числом вы- ражается объем Земли – 1083000000000 км³, а малым – диаметр молекулы воды, который равен 0,0000000003 м. В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полез- ным оказывается представление числа в виде a ×10n , где n – целое число. Например: 125000 = 0,125 ×106 ; 0,0031 = 3,1×10-3 ; 0,237 = 23,7 ×10-2 . Стандартным видом числа a называют его запись в виде a ×10n , где 1 £ a < 10 и n – целое число. Число n называется по- рядком числа а.

1. Представьте в стандартном виде число а = 4 350 000. В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказа- лась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число а в 10⁶ раз. Поэтому а больше числа 4,35 в 10⁶ раз. Отсюда: a = 4,35 ×106 . 2. Представьте каждое из чисел 1083000000000 и 0,0000000003 в виде произведения числа, заключенного между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10: 1083000000000 = 1,083 ×10¹² ; 0,0000000003 = 3 ×10^-¹⁰ . Говорят, что мы записали числа 1083000000000 и 0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно предста- вить любое положительное число. 3. Население Франции составляет 5,9 ×10⁷ человек, а ее территория равна 5,4 ×10⁵ км². Какой из ответов характеризует среднее число жителей на 1 км²? 1) 9,2 чел 2) 92 чел 3) 11 чел 4) 110 чел 5,9 ×10⁷ ₂ Решение. » 1,09 ×10 » 110 человек. Ответ: 4. 5,4 ×10⁵ 4. Запишите 0,0032 в стандартном виде. Решение. Чтобы представить 0,0032 в стандартном виде , нужно пе- ренести запятую в числе 0,0032 на три знака вправо. Получим число от 1 до 10. Итак: 0,0032 = 3,2 ×10^-3 . Ответ: 3,2 ×10^-3 . Перевод единиц измерения 5. Переведите 155,4 м: а) в километры; б) в сантиметры; в) в милли- метры. Решение. А) Так как 1 км = 1000 м, то надо решить пропор- цию: 1 км = 1000 м 1×155,4 , x = = 0,1554 . x км = 155,4 м 1000 Ответ: 0,1554 км или 1,554 ×10^-1 км. Б) Так как 1 м = 100 см, то 1,554 м = 155,4 ×100см = 15540см . Ответ: 15540 см или 1,554 × 10⁴ см. В) Зная, что в 1 метре 1000 миллиметров, найдем, что в 155,4 мет- рах 155400 миллиметров. Ответ: 155400 мм или 1,554 ×10⁵ мм.

Реши сам:

1. (Демо 2010 Задание 1) Площадь территории Испании составляет 506 тыс. км². Как эта величина за-

писывается в стандартном виде? 1) 5,06 ×10² км² 2) 5,06 ×10³ км² 3) 5,06 ×10⁴ км² 4) 5,06 × 10⁵

км²

2. Площадь территории некоторой страны составляет 342 тыс км². . Как эта величина записывается в стандартном виде?

3. Площадь территории некоторой страны составляет 2 млн. км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

4. Общее количество биомассы Мирового океана оценивается в 35 миллиардов тонн. Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 35 ×10⁶ т 2) 35 ×10⁹ т 3) 3,5 ×10⁸ т 4) 3,5 ×10¹⁰ т

5. Найдите десятичную дробь, равную 1,65 ×10^-⁴

1) 0,0165 2) 0,00165 3) 0,000165 4) 0,0000165

6. Площадь территории некоторой страны составляет 80 тыс. км² Как эта величина записывается в стандартном виде?

7. Площадь территории некоторой страны составляет 12,34 тыс. км² . Как эта величина записывается в стандартном виде?

8. Найдите десятичную дробь, равную 1,27 ×10^-⁴ .

1) 0,0127

2) 0,00127

3) 0,000127 4) 0,0000127

9. Найдите десятичную дробь, равную 1,18 ×10^-⁵ .

1) 0,00000118

2) 0,0000118

3) 0,000118 4) 0,00118

10. Площадь территории некоторой страны составляет 0,03 млн. км². Как эта величина записывается в стандартном виде?

11. Численность населения Китая составляет 1,3 ×10⁹

человек, а Вьетнама - 8,5 ×10⁷

человек. Во

сколько раз численность населения Китая больше численности населения Вьетнама?

1) примерно в 6,5 раза 3) примерно в 15 раз

2) примерно в 150 раз 4) примерно в 1,5 раза

12 Площадь территории России составляет 1,7 ×10⁷

территория России больше территории Норвегии?

км², а Норвегии - 3,2 ×10³ км². Во сколько раз

1) примерно в 1,9 раза; 2) примерно в 5,3 раз 3) примерно в 53 раз 4) примерно в 530 раза 13.Общее количество биомассы Мирового океана оценивается в 35 миллиардов тонн. Как эта величи- на записывается в стандартном виде?

1) 35 ×10⁶ т 2) 35 ×10⁹ т 3) 3,5 ×10⁸ т 4) 3,5 ×10¹⁰ т

14. Площадь Кораллового моря 4,07 • 10⁹ м², а площадь Адриатического моря 1,44 • 10⁸ м². Во сколько раз площадь Кораллового моря больше площади Адриатического моря?

1) примерно в 3 раза; 2) примерно в 30 раз; 3) примерно в 0,3 раза; 4) примерно в 5,5 раза.

15. Представьте значение выражения (6 ×10-3 )2 в виде десятичной дроби. Ответ:

Вернуться в содержание

Тема 2 Решение задачи на проценты, нахождение отношения двух вели- чин и выражение его в процентах

Теория

Практика

Задачи на проценты. Основным понятием является часть числа. Если за- дана величина a , то ее k -я часть равна k × a . Процентом называется одна сотая часть вели- чины 1% = 1 = 0,01 , то есть 1% = 1/100 от целого. 100 Значит, целое составляет 100%. Например: 39% = 0,39 ; 0,9 = 90% ; 17,5% = 0,175 . Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25% Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо ее умножить на 100. Например, 0,971 = 0,971•100 = 97,1% Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%: à ´100% . â Полезно вспомнить: Для записи обыкновенной дроби в виде десятичной достаточно разделить ее числитель на знаменатель. 6 это , т.е. 6 = 0,2 30

30 Пропорции: 1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропор- ции, нужно произведение средних членов этой про- порции разделить на известный крайний. 2. Чтобы найти неизвестный средний член пропор- ции, нужно произведение крайних членов этой про- порции разделить на известный средний

1. Сколько процентов составляет 140 от 560? Решение: 140 ´ 100% = 25% Ответ: 25%.

560 2. Месячный проездной билет для студентов стоит 150 рублей. Сколько процентов от сти- пендии составляет цена проездного билета, если стипендия – 600 рублей? Решение: 150 ´ 100% = 25% ответ: 25.

600 3. 60 – это часть числа 500. Какой процент она составляет от 500? Решение: 60: 500 = 6:50=0.12 0.12=0.12ꞏ100%=12% Ответ: 12% 4. Некоторый товар поступил в продажу по цене 600р. В соответствии с принятыми в ма- газине правилами цена товара в течении неде- ли остается неизменной, а в первый день каж- дой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продавать товар в течение третьей недели? 1) 420 р. 2) 486 р. 3) 480 р. 4) 120 р. Решение: В течение первой недели он прода- ется по цене 600 р., второй - 600 × 0,9 = 540 р., третьей - 540 × 0,9 = 486 р. Ответ: 2. 5. 13% от 50. Решение:1)13% = 13 = 0,13 ; 2) 50 × 0,13 = 6,5 . 100 Ответ: 6,5

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 2) Из 59 девятиклассников школы 22 человека приняли участие в городских спортивных соревнованиях. Сколько примерно процентов девятиклассников приняли участие в сорев- нованиях:

1) 0,37% 2) 27% 3) 37% 4) 2,7%

2. Сколько процентов (приблизительно) от числа 120 составляет число 70? 1) 58% 2) 5,8% 3) 17% 4) 171%

3. Сколько процентов (приблизительно) от числа 210 составляет число 300? 1) 70% 2) 700% 3) 14,3% 4) 143%

4. На хранение заложили 200 кг яблок. После зимы оказалось, что 25 кг яблок испортились. Сколько примерно процентов яблок хорошо сохранилось?

1) 88% 2) 12% 3) 0,88% 4) 86%

5. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 12,5%. Выразите эту часть бюджета де- сятичной дробью. Ответ:

6. Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляют 7,5%. Выразите эту часть деся- тичной дробью. Ответ:

7. Сколько процентов (приблизительно) от числа 160 составляет число 110? 1) 14,5% 2) 145% 3) 690% 4) 69%

8. Сколько процентов от числа 300 составляет число 90? 1) 33,3% 2) 333% 3) 30% 4) 3%

10. Сколько процентов (приблизительно) от числа 180 составляет число 290? 1) 16% 2) 161% 3) 62% 4) 6,2%

11. Стоимость одного билета в кинотеатр составляет 220 рублей. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 12 человек — 5%, группе более 12 человек —10%. Сколько заплатит за билеты группа из 10 человек?

1) 1980; 2) 198; 3) 2090; 4) 209.

12. Укажите число, соответствующее 10%.

1) 0,1 2) 0,01 3) 1 4) 10

13. Укажите число процентов, соответствующее числу 0,02. 1) 0,2% 2) 2% 3) 20% 4) 5%

14. Найдите 20% от числа 15. Ответ:

15. От какого числа 17% составляют 85? Ответ:

Вернуться в содержание

Тема 3 Сравнение чисел, изображенных точками на координатной пря- мой

Теория

Практика

Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения m , где m – целое число, а n – n натуральное. Таким образом, множество дей- ствительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел. Примеры: 1. 3,010010001…(единицы разделяются последова- тельно одним, двумя, тремя и т.д. нулями); -5,020022000222…(число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу). 2. Число , выражающее отношение длины окружности к диаметру: p = 3.1415926.... 3. Найдем, например, приближенное значение 2 с тремя знаками после запятой. Так как 12 меньше чем 2, а 22 больше чем 2, то число 2 заключено между целыми числами 1 и 2 (см. рис. а). Значит, десятичная запись числа 2 начинается так: 2 = 1,... . Найдем теперь цифру десятых. Для этого последо- вательно будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; …, пока не получим число, больше двух. Имеем: 1,12 = 1,21 ; 1,22 = 1,44 ; 1,32 = 1,69 ; 1,42 = 1,96 ; 1,52 = 2,25 . Так как 1,42 меньше двух, а 1,52 больше 2, то число 2 больше 1,4, но меньше 1,5 (см. рис. б). Значит, 2 = 1,4..... Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возво- дить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; …. Так как 1,412 = 1,9881, а 1,422 = 2,0164 , то чис- ло 2 больше 1,41 и меньше 1,42 (см. рис. в). Зна- чит, 2 = 1,41... .

1. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 39 . Какая это точ- ка? 1) точка Q 2) точка M 3) точка N 4) точка Р Решение. 6 = 36 , 7 = 49 , 8 = 64 . 36 < 39 < 49 , следовательно, числу 39 соответствует одна из точек М или N. Точка М ближе к числу 36 , точка N ближе к 49 . Отметим середину отрезка: 6,5 = 42,25 36 < 39 < 42,25 , следовательно, числу 39 соответствует точка М. Ответ: 2. 7 3 2. Укажите наибольшее из чисел 0,6; 0,63; ; . 11 7 7 3 1) 0,6 2) 0,63 3) 4) 11 7 Решение. Можно рассуждать так: 0,6<0,63; 3 < 0,5 < 0,6 .Осталось сравнить 0,63 и 7 : 7 11 7 = 0,636... >0,63. Ответ: 3. 11 3. Какое из приведенных ниже неравенств являет- ся верным при любых значениях a и b, удовлетво- ряющих условию a > b ? 1) b - a > 0 3) a - b > 3 2) b - a < -1 4) a - b > -2 Решение: Проанализируем каждое из неравенств, приведенных в ответах. 1) Из условия a > b сле- дует, что b - a < 0 ; ответ не подходит. 2) Из условия b - a < 0 не следует, что b - a < -1; например, при a = 1,5 и b = 1 первое равенство верно, а второе нет. 3) Рассуждаем так же, как и в пункте 2; ответ не подходит. 4) Из условия a - b > 0 и 0 > -2 , что a - b > -2 ; значит, при любых значениях а и b, удовлетворяющих усло- вию a > b , будет выполняться условие

Реши сам :

1. (Демо 2010) Числа x и y отмечены точками на координатной прямой. Расположите в порядке возрас-

1 1

тания числа ,

X y

и 1.

1) ,

1 1 1

, 1 2) 1, ,

Y y x

1 1

3) , 1,

X y

1 1

4) , ,1

Y x

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу

1) Точка А 2) Точка В 3) Точка С 4) Точка D

3. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу

1) Точка А 2) Точка В 3) Точка С 4) Точка D

. Какая это точка?

4. Одна из точек на координатной прямой соответствует числу √52. Какая это точка?

1) Точка К 2) Точка Е 3) Точка F 4) Точка P

5. .Расположите в порядке возрастания числа 0,0157; 0,105; 0,07. 1) 0,07; 0,105; 0,0157; 2) 0,105; 0,07; 0,0157;

3) 0,0157; 0,105; 0,07; 4).0,0157; 0,07; 0,105.

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?

1) точка А 2) точка В 3) точка С 4) точка D

7. Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13. 1) 0,1327; 0,014; 0,13 3) 0,1327; 0,13; 0,014

2) 0,014; 0,13; 0,1327 4) 0,13; 0,014; 0,1327

8. Расположите в порядке возрастания числа 0,0801; 0,08; 0,108. 1) 0,08; 0,0801; 0,108 3) 0,08; 0,108; 0,0801

2) 0,108; 0,0801; 0,08 4) 0,0801; 0,08; 0,108

9. На координатной прямой (см. рис) отмечены числа a и b. Какое из приведенных утверждений неверно?

1) a²b > 0

2) a + b > 0

3) a - b > 0

4) b - a > 0

10. Найдите координату точки А. Ответ:

11. Для каждого из чисел

А) -3 Б) 3 В) 5

укажите соответствующую точку прямой.

Ответ:

А	Б	В

12. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 2,3. Какая это точка?

Ответ:

13. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?

Ответ:

14. Какие из отмеченных точек находятся на расстоянии 3 от точек А?

Ответ:

15. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу . Какая это точка?

1) точка А 2) точка В 3) точка С 4) точка D

Вернуться в содержание

Тема 4 Нахождение значения буквенного выражения

Теория

Практика

Полезно помнить: 1. Чтобы сложить два числа с одинако- выми знаками, надо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак Например: (-3) + (-6) = -(3 + 6) = -9 (+3) + (+5) = +(3 + 5) = +8 2. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно поставить знак «-» и сло- жить их модули. Например: (-11) + (-24) = -(11+ 24) = -35 3. Чтобы сложить два числа с разными знаками Надо из большего модуля вычесть меньший и поставить знак того модуля, который больше: Н-Р: -15 +8 = -(15 – 8) = - 7 4. При делении и умножении: 1. Произведение двух чисел с одинаковы- ми знаками есть число положительное. 2. Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Н-р: 6 х (-4) = -24 -12 : (-6) = 2 5. При возведении в степень: a¹ = a a² = a × a a³ = a × a × a 5⁷ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 (-3)⁴ = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = +81 (-2)⁵ = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = -32

1. Найдите: a + 0,5b³ при a = 20 и b = -4 . Решение. a + 0,5b³ = 20 + 0,5 × (-4)³ = 20 + 0,5 × (-64) = 20 - 32 = -12 Ответ: -12 2. Найдите 1,5x³ - 3x² + 4 при x = -1. Решение: При x = -1: 1,5x³ - 3x² + 4 = -1,5 - 3 + 4 = - 1 . -0,5 Ответ : 2 x4 x2 3. - + + x при x = -4 . 4 2 Решение: При x = -4 : - x4 + x2 + =-(-4)4 + (-4)2 + - =-44 +16- =- + =- x ( 4) 4 64 4 60 4 2 4 2 4 2 Ответ: -60. 4. Найдите значение выражения x3 5 при x = - 5 . 5 Решение. При x = - 5 : x 3 5 = (- 5)3 5

5 5 (- 5)³ 5 = - ( 5)⁴ = - 5⁴ = - 625 = - 25 = - . Ответ: -5. 5 5 5 5 5 5 -2 5. Найти значение выражения æ 1 ö . ç 4 ÷ è ø æ 1 ö^-² 1 1 Решение. ç ÷ = = = 16 . è 4 ø æ 1 ö² 1 ç 4 ÷ 16 è ø -2 2 Илиæ 1 ö æ 4 ö 2 . Ответ: 16. ç 4 ÷ = ç 1 ÷ = 4 = 16 è ø è ø 6. Найдите значение выражение x3 5 при x = - 5 . 5 Решение. Подставим значение х в выражение. При значение выражения x3 5 равно (- 5)3 5 . x = - 5 5 5 (- 5)³ 5 = - ( 5) ⁴ = - 5⁴ = - 625 = - 25 = - Ответ: -5.

5 5 5 5 5 5 7. Найдите значение выражения a ² - b² при a = 8 ; b = -6 . Решение. Подставим значения а и b в выражение. a² -b² = 8² -(-6)² = 8² - 6² (8 - 6)(8 + 6) = 2×14 = 2× 2× 7 = 2 7 Ответ: 2 7 .

Реши сам :

1. (Демо 2010 задание 4) Найдите значение выражения

a2 a4

x 4 + x3

4 3

- 1 при

x = 1. Ответ:

2. a - -

2 4

при

a = -4 . Ответ:

3. ax a + x

4. x - y

при

При

a = 1

x = 1

и x = 1 . Ответ:

и y = 1 . Ответ:

5. a + b

при

a = -2,5 и b = 3. Ответ:

6. 3a ² + a + 1 при

a = - 1 . Ответ:

7. 1 - 0,5a² + 2a³

при

a = -1. Ответ:

8. 20x³ - 8x² + 4

при

x = -0,1. Ответ:

9. 1 -

при

a = 0,04

и c = 0,64 . Ответ:

10. 1 - 7 y ² + 30 y³ при y = -0,1. Ответ:

11.

12.

0,2x³ + x² + x

0,6x³ - x² - x

При при

x = 10 . Ответ:

x = -10 . Ответ:

13.

a - b a + b

при

a = -0,2

и b = -0,6 . Ответ:

14.

a² + b²

при

a = 12

и b = -5. Ответ:

15.

x² - y ²

при

x = 10 и

y = -6 . Ответ:

Вернуться в содержание

Тема 5 Выражение из формул одних величин через другие

Теория

Практика

Запись какого либо правила с помощью букв называют фор- мулой. Запишем правило нахождение пути по скорости и времени дви- жения в буквенном виде. Обозна- чим путь буквой s, скорость — буквой v и время — буквой t. По- лучим равенство s = vt — это ра- венство называют формулой пути. По формуле пути можно решать различные задачи. Полезно вспомнить: 1. Чтобы найти неизвестное сла- гаемое надо из суммы вычесть из- вестное: а + х = в; х = в-а 2. Чтобы найти неизвестный сомножитель надо произведение разделить на известный: а*х=в; х=в:а 3. Чтобы найти неизвестный де- литель надо делимое разделить на частное: а:х=в; х=а:в 4. Чтобы найти неизвестное де- лимое надо делитель умножить на частное: х:а=в; х=а*в

1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. За какое время он пройдет путь в 600 км? Решение. Заменим в формуле s = vt буквы s и v их значениями: s = 600 , v = 60 . Получим уравнение: 600 = 60t . Из него находим, что t = 600 : 60 , то есть t = 10 . Значит, чтобы проехать 600 км, ав- томобиль должен двигаться 10 ч. Ответ: за 10 ч. 2. Из формулы скорости газовых молекул v = 3 p выразите дав- d ление газа p. 3 p V ²d Решение: V = ; p = d 3 3. Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl , где n — число ша- гов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, сделавший 4000 шагов, если длина его шага составляет примерно 55 см? Ответ выразите в километрах. Решение. s = 4000 × 55см = 220000см = 2200м = 2,2км . Ответ: 2,2 км. 4. Выразите из формулы скорости равноускоренного движения v = v0 + at время t. Решение. Выполним два шага: 1) сначала выразим at ; 2) Затем вре- мя t. 1) at = v - v ; 2) t = v - v0 . Ответ: t = v - v0 . 0 a a

Реши сам :

1. (Демо 2010 Задание 5) Из формулы периода обращения T = выразите время

вращения t. Ответ:

2. Выразите из формулы F = 1,8C + 32 переменную С. Ответ:

3. Выразите из формулы l = 1 + 7,8t

переменную t. Ответ:

4. Из формулы a = v - v0

5. Из формулы a = v - v0

выразите переменную v. Ответ:

выразите переменную t. Ответ:

6. Из формулы g

= P выразите переменную V. Ответ:

7. Из формулы

N = выразите переменную A. Ответ:

8. Из формулы

9. Из формулы

1 = 1 + 1

x a b

1 = 1 - 1

y a b

выразите переменную b. Ответ:

выразите переменную a. Ответ:

10. Выразите из формулы скорости равноускоренного движения v = v0 + at

a.Ответ:

ускорение

11. Выразите из формулы пути равномерного движения s = s0 + vt

nmv²

скорость v. Ответ:

13. Из формулы давления газа

p = выразите скорость молекул v. Ответ:

14. Объем цилиндра вычисляется по формуле V = p R² H , где R – радиус основания, Н – высота ци- линдра. Выразите из этой формулы радиус R. Ответ:

at ²

15. Из формулы пути равноускоренного движения s = выразите время t Ответ:

Вернуться в содержание

Тема 6 Применение свойств арифметических квадратных корней для вычисления значений выражений

Теория	Практика
Арифметический квадратный корень Определение: a = b , где a ³ 0 , b ³ 0 , b2 = a Сво

2019-08-14

282

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Обсуждение в статье: С надеждой на понимание, ваш друг, Е.Н. Кочкина.

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓