Линейная модель парной регрессии

Регрессионный анализ[4] занимает ведущее место в статистических методах эконометрики. До регрессионного анализа следует проводить корреляционный анализ (см. предыдущий параграф), в процессе которого оценивается теснота статистической связи между исследуемыми переменными. От тесноты связи зависит прогностическая сила регрессионной модели.

Основная задача регрессионного анализа заключается в исследовании зависимости изучаемой переменной от различных факторов и отображении их взаимосвязи в форме регрессивной модели.

В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная  может быть предоставлена в виде функции – независимые (объясняющие) переменные, или факторы.

Связь между переменной  и  независимыми факторами  можно охарактеризовать функцией регрессии , которая показывает, каково будет в среднем значение переменной , если переменные  примут конкретные значения. Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.

Сформулируем регрессивную задачу для случая одного факторного признака. Пусть имеется набор значений двух переменных и :

 – объясняемая переменная и  –объясняющая переменная каждая, из которых содержит  наблюдений. Пусть между переменными и теоретически существует некоторая линейная зависимость

Это уравнение будем называть «истинным» уравнением регрессии.

Однако в действительности между и наблюдается не столь жесткая связь. Отдельные наблюдения  будут отклоняться от линейной зависимости в силу воздействия различных причин. Обычно зависимая переменная находится под влиянием целого ряда факторов, в том числе и неизвестных исследователю, а также случайных причин (возмущения и помехи); существенным источником отклонений в ряде случаев являются ошибки измерения. Отклонения от предполагаемой формы связи, естественно, могут возникнуть и в силу неправильного выбора вида уравнений, описывающего эту зависимость. Учитывая возможные отклонения, линейное уравнение связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде

где,  постоянная величина (или свободный член уравнения);

   коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений;

 – случайная переменная (случайная составляющая, остаток, или возмущение).

Коэффициент регрессии характеризует изменение  переменной при изменении заключения  на единицу. Если переменные  и  положительно коррелированны, если – отрицательно коррелированны.

Случайная составляющая  отражает тот факт, что изменение  будет неточно описываться изменением , так как присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.

Таким образом, в уравнении (11) значение каждого наблюдения представлена как сумма двух частей – систематической  и случайной . В свою очередь систематическую часть можно представить в виде уравнения

.

Можно сказать, что общим моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части – объясненную и случайную.