Линейные преобразования стационарных случайных процессов

Ранее было показано, что стационарный случайный  процесс X ( t )можно с необходимой для инженерной практики точ­ностью представить своим каноническим разложением. Для этого необходимо корреляционную функцию разложить в ряд Фурье на интервале (-Т, +Т), при этом получаем дисперсии коэффициен­тов разложения D_k и частоты гармонических колебаний. Чем больше будет интервал разложения, тем точнее можно представить случайный процесс X(t)своим спектральным разложением.

Рассмотрим линейное однородное преобразование стационарного случайного процесса X(t)):

(формула 4.62)

В соответствии с формулой (6.2.14) математическое ожидание  случайного процесса Y ( t ) будет равно:

(формула 4.63)

а его корреляционную функцию можно определить, используя следующую формулу:

Корреляционная функция  стационарного случайного процесса, заданного своим спектральным разложением, оп­ределяется по формуле (4.28)

Следовательно

Введем  следующие обозначения:

(формула 4.64)

Тогда

(формула 4.65)

 Таким образом, мы получили каноническое разложение корреляционной функции случайного  процесса  Y ( t ).

Если рассматривается линейное неоднородное преобразование

(формула 4.66)

То тогда  формула для математического ожидания случайного процесса Х( t ) примет следующий вид:

(формула 4.67)

а формулы (4.64)  и (4.65)  для определения корреляционной функции  остаются теми же и для линейного однородного пре­образования.

Чтобы случайный  процесс Y ( t ) был стационарен по математиче­скому ожиданию, необходимо выполнение  следующего условия:

(формула 4.68)

Чтобы случайный процесс Y ( t )  был стационарен по корреляционной функции достаточно выполнение следующих условий:

(формула 4.69)

или наоборот

(формула 4.70)

 

причем

(формула 4.71)

 

Рассмотрим несколько примеров линейных преоб­разований стационарного случайного процесса  Х( t ) , считая при этом известными его математическое ожидание  и  корреляционную функцию  

Дифференцирование

(формула 4.72)

В этом случае по формуле (6.2.22) получаем что

(формула 4.73)

 

 

Условия (4.68)-(4.71) выполняются, следовательно, случайный процесс  

 будет  являться стационарным по параметрам математического ожидания и по корреляционной функции, которую найдем по следующей формуле

(формула 4.74)

обозначим

тогда получаем что

 

(формула 4.75)

 

Также можно показать что,  k -я производная стационарного случайного процесса  X ( t )

(формула 4.76)

 

является стационарным случайным  процессом X ( t )  со следующими характеристиками:

(формула 4.77)

 

Кроме того, можно показать, что если стационарный случайный процесс X ( t ) является нормальным, то его k -я производная  является также нормальным случайным процессом с характеристиками, описанными в формуле (4.77).

Найдем спектральную плотность случайного процесса

 спектральная плотность случайного процесса будет равна

 

Таким образом, если случайный  процесс Y ( t ) = dX ( t )/ dt  и спект­ральная плотность случайного процесса  X ( t ) равна  то, спект­ральная плотность случайного процесса Y ( t ) определяется по  следующей формуле

(формула 4.78)

 

 

Ввиду важности формулы (4.78) запишем ее в виде правила: спектральная плотность производной стационарного случайного процесса  равна произведению спектраль­ной плотности этого случайного процесса на

Если случайный процесс  и спект­ральная плотность случайного процесса X ( t )  равна , то

(формула 4.79)

 

В дальнейшем будем называть оператор Ai стационарным оператором и обозначать его A i _c, если этот оператор преобразует стационарный случайный  процесс X ( t ) в стационарный случайный процесс Y ( t ). Таким образом, линейный неоднородный оператор

(формула 4.80)

является стационарным оператором.

 

Интегрирование.

Рассмотрим линейное однород­ное преобразование-интегрирование стационарного случайного процесса  Х( t ) в пределах от 0 до t :

 

 

(формула 4.81)

Так как оператор интегрирования является линейным однородным, то

(формула 4.82)

 

(формула 4.83)

 

Анализ  преобразования отраженного в формуле (4.81) показывает, что данное преобразование  не являет­ся стационарным по математическому ожиданию.

Чтобы исследовать функцию  рассмотрим более подробно преобразование (4.81) считая, что процесс X ( t ) представлен своим спектральным раз­ложением

 

 

(формула 4.84)

 

Анализ показывает, что выражение (4.84) представляет со­бой каноническое разложение, однако оно не является спектральным и случайный  процесс Y ( t ) не является стационарным. Следовательно, каноническое разложение корреляционной  функции  будет иметь следующий  вид

 

(формула 4.85)

 

идисперсия случайного процесса Y ( t ) будет определяться по следующей формуле

       

(формула 4.86)

 

Рассмотрим еще одно линейное однородное преоб­разование стационарного случайного  процесса  X ( t ) связанное с ин­тегрированием:

(формула 4.87)

 

Считая, что процесс X(t) задан своим спектральным разложением, получим:

 

(формула 4.88)

 

Выражение (4.88) является каноническим разложе­нием, но не спектральным; поэтому случайный процесс Z ( t ) не яв­ляется стационарным процессом. Его корреляционная функция  будет иметь следующий  вид:

 

 

 

 

(формула 4.89)

а дисперсию найдем по формуле

 

 

(формула 4.90)

Рассмотрим частный случай для формул (4.88) и (4.90), когда  и . В этом случае спек­тральное разложение случайного процесса  Х( t )примет следующий  вид

(формула 4.91)

а для процесса Z ( t ) получим следующее  выражение:

 

 

 

(формула 4.92)

 

В рассматриваемом случае при в составе канонического разложения Z ( t ) присутствует случайная  величина  V₀.

Следовательно,

 

(формула 4.93)

 

 

 

(формула 4.94)

 

 

 

(формула 4.95)

Отсюда очевидно, что

 

(формула 4.96)

 

Линейное однородное преобразование вида (4.87) ис­пользуют для получения оценки математического ожидания т_х стационар­ного случайного процесса Х( t ). Эта оценка является несмещенной, так как , но дисперсия этой оценки будет зависеть от величин D_o и t. Если в составе стационарного случайного процесса Х( t ) нет слагаемых в виде случайной величины ( V_o = 0 ), а есть только слагаемые в виде случайных колебаний на различ­ных частотах, то в этом случае оценка, выполненная с помощью формулы (4.87) будет асимптотически состоятельной, так как

 

 

(формула 4.97)

 

Таким образом, преобразование вида (4.87) может быть использовано для оценки математического ожидания т_х стационар­ного случайного процесса Х( t ), если его корреляционная функция следующим обладает свойством

 

(формула 4.98)

 

 

3. Сумма двух стационарных случайных процессов.

 

Рассмотрим случайный процесс Z ( t ), равный сумме двух стационарных случайных процессов Х( t ) и Y ( t )

 

(формула 4.99)

 

Пусть будут даны характеристики процессов X ( t ) и Y ( t ):  а также их взаимная корреляционная функция

 

(формула 4.100)

 

 

Случайные процессы Х( t ) и Y ( t ) называются стационарно связанными, если выполняется следующее условие:

 (формула 4.101)

Где

Из свойства (4.101) следует, что для стационарно связанных процессов выполняется равенство

(формула 4.102)

 

Найдем характеристики случайного процесса Z ( t).  Имеем что

 

 

(формула 4.103)

 

 

 

(формула 4.104)

 

 

 

(формула 4.105)

 

Мы видим, что математическое ожидание суммы двух стационарных случайных  процессов  есть постоянная величина, равная сумме математических ожиданий слагаемых.

Корреляционная функция суммы двух стационар­ных случайных процессов в общем случае будет функцией двух аргу­ментов t и t .Если случайные процессы X ( t ) и Y ( t ) стационарно свя­заны, то случайный процесс Z ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) будет стационарным:

 

 

(формула 4.106)

 

(формула 4.107)

Если стационарные случайные процессы X(t) и Y ( t ) не являются коррелированными  то тогда

 

 

 

(формула 4.108)

 

и соответственно  случайный процесс Z ( t ) будет являться стационарным.

 

Найдем в общем случае спектральную плотность стационарного случайного процесса Z( t ) = X( t ) + Y ( t ) если случайные процессы Х( t ) и Y ( t ) являются стационарно связанными процессами.

 

(формула 4.109)

где

 спектральные плотности стационарных случайных процессов Х( t ) и Y ( t ) соответственно.

(формула 4.110)

 

взаимная спектральная плотность двух стационар­но связанных случайных процессов

Из (4.110)  следует, что

 

(формула 4.111)

 

В соответствии с равенством (формула 4.102) между вза­имными плотностями и существует сле­дующее равенство:

 

(формула 4.112)

 

Тогда формулу (4.109) можно записать в виде

 

 

 

(формула 4.113)

где Re (а)- действительная часть комплексного числа а.

Если случайные процессы X ( t ) и Y ( t ) не коррелированные то тогда

(формула 4.114)

 

Из общих свойств спектральной плотности, приведенных ранее  следует, что является чет­ной неотрицательной функцией .