Окончательный результат для установившегося режима будет таким

 

(формула 5.31)

 

Получим формулы, связывающие корреляционные функции входного и выходного сигналов линейной стационарной системы. Положим, что является Y ( t ) - нестационарной Случайной Функцией. Из (5.28) и (5.30) имеем

Запишем последнюю формулу для моментов времени t, и t₂, перемножим, правые и левые части и воздействуем оператором МО

(формула 5.32)

Поскольку

из (5.32) следует что

(формула 5.33)

 

 

Последняя формула определяет корреляционную функцию Случайную Функцию X( t ), если имеет место неустановившийся режим, a Y(t) -нестационарный Случайный Процесс. Пусть Y ( t ) - стационарная Случайнная Функция, а режим работы системы - неустановившийся. Тогда

где u = t₁ – t₂

справедливо выражение

(формула 5.34)

Теперь рассмотрим установившийся режим, для которого основная формула (5.28) принимает вид

(формула 5.35)

тогда (5.34) можно представит в следующем виде

(формула 5.36)

дисперсия выходного сигнала определяется зависимостью (полагаем u = 0):

(формула 5.37)

Выводы:

а) если известна ИПФ системы, то МО выходного сигнала определяется как результат одномерного интегрального преобразования МО входного сигнала, (формулы (5.29) и (5.30)), а КФ выходного сигнала и его дисперсия - как результат двумерного интегрального преобразования КФ входного сигнала (формулы (5.34) и (5.37));

б) для определения дисперсии выходного сигнала требуется задать КФ входного сигнала. Знание дисперсии входа недостаточно для расчета дисперсии выходного сигнала.

В теории стационарных систем можно было выделить такие задачи, которые связаны только со стационарными, эргодическими случайными процессами. При подаче на вход ЛНС стационарного сигнала на выходе процесс не является стационарным, поэтому статистическая динамика ЛНС обязательно должна обеспечивать возможность оперирования с нестационарными случайными процессами. В силу сложности общей теории нестационарных случайных процессов рассмотрим здесь некоторые вопросы статистической динамики ЛНС в рамках лишь корреляционной теории.

 

Связь корреляционной функции Rxx(t₁ t ₂ ) выходного сигнала ЛНС с корреляционной функцией R yy (t₁ t₂) входного сигнала можно получить следующим образом. Согласно определению корреляционной функции (5.34), с учетом интеграла суперпозиции

так как операция математического ожидания линейна. Выражение в фигурных скобках, согласно определению (5.34), есть , поэтому

(формула 5.38)

Корреляционная функция установившейся реакции  тогда примет следующий  вид

(формула 5.39)

 

Формула (5.39) наглядно иллюстрирует тот факт,  что и при  стационарном входе

(формула 5.40)

даже установившаяся реакция не представляет собой стационарного сигнала, так как  Rxx(t₁ t ₂ ) не является функцией, зависящей от t₁ - t _2.

Наиболее часто (5.39) записывается в виде

(формула 5.41)

На основании анализа приведенных выше формул можно сделать вывод: выход­ной сигнал линейной системы представляет собой стационарныйСлучайный Процесс тогда и толь­ко тогда, когда рассматривается устойчивая стационарная линейная система в установившемся режиме при стационарном случайном входном сигнале.

В этом случае математическое ожидание и являются постоянными величинами, а корреляционная функция выходного сигнала зависит от разности

 

Нестационарный выходной сигнал может быть порожден одной из трех причин:

а) нестационарностью входного сигнала; тогда для стационарной системы для имеем

б) не стационарностью системы; тогда корреляционная функция выхода опреде­ляется выражением

в) не стационарностью режима работы системы (переходной режим); тогда для стационарной системы имеет место зависимость

Рассмотрим случай, если Y(t) - белый шум; тогда

найдем формулу, определяющую дисперсию выходного процесса стационарной системы в установившемся режиме; имеем

 

 

воспользуемся свойством дельта-функции

Тогда

Окончательно найдем что

Таким образом, установившееся значение дисперсии на выходе линейной стацио­нарной системы при подаче на вход белого шума характеризуется интегральной квадратической оценкой ИПФ.

Если же имеет место неустановившийся режим, то дисперсия выходного СП оп­ределяется зависимостью

 

 

В случае воздействия на нестационарную  систему белого шума с Корреляционной Функцией

при    получаем что

Наиболее сложной является задача расчета вероятности нахождения выходного процесса X(t) в пределах допустимого диапазона .

Наиболее просто она решается в случае, если Y(t) - нормальный Случайный Процесс. Тогда, если известно, что входной процесс Y(t) является нормальным и центрированным, то ус­тановившаяся реакция также нормальна и центрирована с дисперсией, вычисляе­мой согласно формуле (5.42).

 

 

Если Х( t ) - нормальный Случайный Процесс, то Дифференциальный Закон Распределения  определяется формулой

 

(формула 5.43)

В  последнюю формулу входят и  которые определены выше, и, таким образом, установлен одномерный то Дифференциальный Закон Распределения выходного сигнала X(t).

Если  то

для рассматриваемого случая Дифференциальный Закон Распределения  не зависит от времени t.

Зная , легко получить ответ на основной вопрос анализа: какова вероят­ность  того, что в любой момент времени работы системы в установившемся ре­жиме СФ X(t) не выйдет за пределы отрезка .

 

Решение задачи дается формулой

Где

а

Если  то

Если распределение Случайного Процесса X(t) отлично от нормального, то можно воспользоваться оценкой вероятности выхода из допуска по известным математическому ожиданию и дисперсии. Эта оценка следует из классической  теоремы Чебышева

Если  и  то

если известно, что кривая симметрична и «одногорба», то

 

При