Спектральная плотность.

Ранее было показано, что стационарный случайный  процесс  может быть представлен своим каноническим разложением вида:

(формула 4.27)

а его корреля­ционная  функция - каноническим разложением корреляционной функции:

(формула 4.28)

где

 

Координатными функциями канонического разложе­ния стационарного случайного процесса являются косинусы и синусы различных частот.

Каноническое разложение (4.27) называется спек­тральным разложением стационарного случайного процесса. Спек­тральное разложение (4.27) может быть представ­лено в виде

(формула 4.28)

Где

- фаза гармонического колебания элементар­ного стационарного случайного процесса случайная величина, рас­пределенная равномерно в интервале (0,2П);

- амплитуда гармонического колебания элементарного стационарного случайного процесса -тоже случайная величина.

Случайные величины    являются зависимыми между собой.

Между случайными величинами  имеют место следующие соотношения:

(формула 4.29)

 

Ранее было установлено, что  между числовыми характеристиками случайной величины Z_k и число­выми характеристиками случайной величины V _k и U_k имеет место следующее равенство:

(формула 4.30)

Таким образом, стационарный случайный   процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами Z_k и слу­чайными фазами на различных неслучайных ча­стотах. Заметим,  что даже если амплитуды ко­лебаний Z_k являются неслучайными, то все равно будет иметь место ста­ционарный процесс за счет случайного сдвига фазы колебания  на частоте .

Очевидно, что коэффициенты канонического раз­ложения корреляционной  функции  и набор различных частот  должны зависеть от конкретного вида корреляционной функции . Эту зависимость можно получить различными способами, разлагая корреляционную функциюв  числовой ряд.

Так как корреляционная функциястационарного случайного процесса X ( t ) является четной функцией своего аргумента  то ее на интервале (-Т, +Т) можно разложить в ряд Фурье по четным (косинусным) гармоникам:

(формула 4. 31 )

где 

(формула 4. 3 2)

(формула 4.33)

Можно доказать, что коэффициенты D₁ , D_2, …..D_k являются неотрицательными величинами для любой корреляционной функции k_x ( r ) стационарного случайного процесса X(t).

Таким образом, зная вид корреляционной функции k_x ( r ), можно получить значения (дисперсии) коэффициентов канони­ческого разложения ( V_k , U_k ) и частоты стацио­нарного случайного процесса X(t).

Дисперсию стационарного случайного процесса X(t), представлен­ного своим каноническим разложением, найдем по формуле

(формула 4.34)

Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса X(t), представленного своим каноническим разложением, равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения.

 

 

Рисунок 4.5

На рисунке 4.5 показан «спектр дисперсии» стационарного случайного процесса, представленного своим спектральным разложением. Очевидно, что разложение корреляционной функции в ряд будет тем точнее, чем больший интер­вал разложения Т  будет взят.

При неограниченном увеличении периода разло­жения корреляционной функции  коэффи­циенты разложения корреляционной функции (4.31) будут неограниченно уменьшаться,  а число их в сумме не­ограниченно увеличиваться. При этом величина интервала между соседними частотами-будет также стремиться к нулю.

Запишем выражение (4.31) в несколько ином виде, имея в виду, что

(формула 4.35)

 

Введем обозначение

(формула 4.36)

Величина  представляет собой ту часть общей дисперсии стационарного случайного процесса X(t)которая приходится на

k -югармонику. На рисунке 4.6 пока­заны зависимости  и  при .

 

Рисунок 4.6

Анализ данного рисунка 4.6 показывает, что с увеличением периода разложения ступенчатая функция будет неогра­ниченно приближаться к плавной кривой , кото­рая представляет собой плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра.

Таким образом,

(формула 4.37)

Функция называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса X ( t ).

В этом случае выражение (4.35)  примет следующий  вид:

(формула 4.38)

Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность стационарного случайного процесса X(t)  связаны между собой косинус-преобразованием Фурье.

Следовательно, спектраль­ная плотность выражается через корреляционную функциюстационарного случайного процессаследующим образом:

(формула 4.39)

 

 

Последнее выражение можно получить предельным переходом при

 

Так как подынтегральная функция является четной функцией, то отсюда следует что:

 

(формула 4.40)

 Соответственно, при  получаем выражение(4.39).

Спектральная плотность стационарного случайного процессаобладает следующими свойствами:

1. Она является неотрицательной функцией ча­стоты

Это следует из того что предел отношения двух неотрицательных величин   и  не может быть отрицательным.

2. Интеграл от спектральной плотности в пределах от 0 до бесконечности  равен дисперсии стационарного случайного процесса:

(формула 4.41)

Графически эти два свойства спектральной плот­ности отображены на рисунке 4. 7

Рисунок 4.7

Кривая рас­положена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограни­ченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и осью ординат слева, равна дисперсии  (заштрихо­ванная фигура на рисунке 4. 7).