Корреляционная функция

(формула 3.67)

Частным случаем линейной формы векторного случайного процесса X ( t ) является сумма его составляющих:

(формула 3.68)

В этом случае характеристики случайного процесса Y ( t ) будут равны:

(формула 3.69)

Таким образом,  математическое ожидание m_y ( t ) будет равно сумме математических ожиданий, составляющих век­торного случайного процесса Х( t ) , а его корреляционная функция будет равна сумме всех элементов взаимной корреляционной матрицы этого векторного случайного процесса X ( t ).

Если составляющие векторного случайного процесса X ( t ) не являются  коррелированными между собой величинами, то получим что:

(формула 3.70)

Таким образом, получаем, что  корреляционная функция суммы некоррелирован­ных случайных процессов равна сумме корреляцион­ных функций этих случайных процессов.

Комплексные случайные процессы

При исследовании стационарных случайных  процессов мы будем широко использовать выражения тригонометрических функций через комплексные функции, в связи,  с чем нам необходимо будет пользоваться комплекс­ными случайными процессами.

Определение 3.4

Комплексного случайного процесса

Комплексным случайным процессом называется случайный процесс вида

(формула 3.71)

Где

X₁ ( t ) , Х₂( t ) -действительные случайные процес­сы,

 - мнимая единица

Таким образом, комплексный случайный процесс представляет собой линейную форму двух действительных случайных процессов.

Для фиксированного момента времени t комп­лексный случайный процесс X ( t ) превращается в комплексную случайную величину, где случайная величина X₁( t ) -его действительная часть, Х₂( t )-его мнимая часть.

 

 

Исходя из определения комплексной случайной  величины, най­дем характеристики комплексного случайного процесса  X ( t ). Матема­тическое ожидание комплексного случайного процесса равно:

(формула 3.72)

(формула 3.73)

Обозначим X⁰(t) -центрированный комплексный случайный процесс:

(формула 3.74)

(формула 3.75)

Корреляционная функция комплексного случайного процесса определяется по формуле

(формула 3.76)

Где

                

(формула 3.77)

комплексный случайный процесс сопряженный комплексному случайному процессу X⁰(t' ).

Дисперсия комплексного случайного  процесса X ( t ) определяется через его корреляционную функцию следующим образом:

(формула 3.78)

Где

(формула 3.79)

дисперсии действительной и мнимой частей комп­лексного случайного процесса X ( t ).

Корреляционная функция комплексного случайного процессамо­жет быть выражена через корреляционные функции его действительной и мнимой части и через их вза­имные корреляционные  функции.

 

 

 

(формула 3.80)

где

(формула 3.81)

корреляционная  функция  действительной составляющей комплексного случайного  процесса X ( t )

(формула 3.82)

корреляционная функция мнимой составляющей комплексного случайного процесса X ( t )

(формула 3.83)

взаимная  корреляционная функция действительной и мнимой составляющих комплексного случайного процесса X ( t )

Отметим, что математическое ожидание m_x ( t ) комплексного случайного процесса X ( t ) представляет собой неслучайную комплексную функцию аргумента t.  Дисперсия D_x ( t ) комплексного случайного процесса X ( t ) представляет собой неотрицательную неслучайную действительную функцию аргумента t. Корреляционная функция  K_x ( t , t ') комплексного случайного процесса может быть как действительной, так и комплексной неслучайной функцией двух аргументов t и t' Корреляционная функция K_x ( t , t ') будет действительной либо когда действительная и мнимая части случайного процесса X(t) не коррелированы ( R _{1, 2} (t,t')= 0), либо когда их взаимная корреляционная функция симметрична относительно t и t '.

Комплексный случайный  процесс X(t) можно записать через по­лярные координаты случайной точки X₁ ( t ) и X ₂ ( t ) на комплексной плоскости:

(формула 3.8 4 )

где

(формула 3.85)

(формула 3.86)

(формула 3.87)

Пользуясь формулами Эйлера, выражение (3.84) можно записать в следующем  виде:

Действительный случайный  процесс R (t) называется модулемили абсолютной величиной комплексного случайного   процесса  X ( t ); действительный случайный процесс Θ( t ) называется аргументомкомплексного случайного процесса X ( t ).